Aloha :)
Stell dir vor, die Lampen wären von 1 bis 12 numeriert und du willst 4 davon der Reihe nach auswählen:
Für die 1-te Lampe gibt es 12 Auswahlmöglichkeiten.
Für die 2-te Lampe gibt es noch 11 Auswahlmöglichkeiten.
Für die 3-te Lampe gibt es noch 10 Auswahlmöglichkeiten.
Für die 4-te Lampe gibt es noch 9 Auswahlmöglichkeiten.
Sind zusammen: \(12\cdot 11\cdot10\cdot9=11880\) Möglichkeiten.
Da alle 4 ausgwählten Lampen zugleich brennen sollen, spielt die Reihenfolge, in der sie ausgewählt wurden, keine Rolle. Angenommen, du hast die Lampen (3,7,1,9) in der angegebenen Reihenfolge gewählt. Dann ist diese Auswahl gleichwertig mit der Reihenfolge (7,9,1,3) oder (1,3,7,9) oder allen anderen möglichen Reihenfolge der 4 ausgewählten Lampen.
In der oben berechneten Anzahl der Möglichkeiten stecken alle diese verschiedenen Reihenfolgen mit drin. Wir müssen sie daher noch rausrechnen.
Dazu überlegen wir uns analog zu oben, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 4 ausgewählten Lampen anzuordnen:
Für die 1-te Lampe gibt es 4 mögliche Positionen.
Für die 2-te Lampe gibt es noch 3 mögliche Positionen.
Für die 3-te Lampe gibt es noch 2 mögliche Positionen.
Für die 4-te Lampe bleibt nur noch 1 Position übrig.
Sind zusammen \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) Reihenfolgen.
Damit hast du nun die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 12 Lampen genau 4 ohne Beachtung der Reihenfolge auszwählen:$$\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{11880}{24}=495$$
Allgemein kannst du das mit dem Binomialkoeffizienten berechnen:$$\binom{n}{k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\cdot(k-2)\cdots1}\quad;\quad\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$$
