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Aufgabe:

(b) Für \( \alpha>0 \) und \( \beta>0 \) sei die Funktion \( f_{\alpha, \beta} \) gegeben durch

\( f_{\alpha, \beta}(x)=\left\{\begin{array}{l} \alpha, \quad x \in[-1,0] \\ e^{-\beta x}, \quad x>0 \\ 0, \quad \text { sonst. } \end{array}\right.\)

(i) Sei \( \alpha>0 \) beliebig, aber num fest. Wie müssen Sie \( \beta \) (in Abhängigkeit von \( \alpha \) ) wählen, damit \( f_{\alpha, \beta} \) die Dichte einer Zufallsvariablen ist?

Im Folgenden sei \( \alpha=0.5 \) und \( \beta=2 \). Betrachten Sie eine Zufallsvariable \( X \) mit Dichte \( f_{0.5,2} \).

(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P[|X|>0.5] \).

(iii) Geben Sie ein 0.25 -Quantil von \( X \) an.


Problem/Ansatz:

iii) \( F(x)=0,25 \Rightarrow \int \limits_{-1}^{x} 0,5 d x=0,\left.5 x\right|_{-1} ^{x}=0,5 x+0,5 \stackrel{!}{=} 0,25 \mid-0,5 \)
\( \Leftrightarrow 0,5 x=-0,25 / 2 \Rightarrow x_{0,25}=-0,5 \)

Bei Aufgabe b) iii) muss man ja das 0.25 Quantil nehmen, bei der Lösung wurde dann Alpha also 0.5 genommen und entsprechend erstmal aufgeleitet, aber warum nimmt man diese erste Funktion also die 0.5 und nicht e^-2x und leitet diese nicht auf und löst nach entsprechend auf.

Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler, verstehe trotzdem nicht warum man nicht e^-2x nimmt, wegen x>0

Avatar von
nicht e^-2x

Es geht nicht um e^-2x sondern um e^(-2x)

1 Antwort

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F(0) wären doch schon 50% weil du von -1 bis 0 integrieren musst. Daher ist das 25% Quartil in dem Intervall von -1 bis 0 zu suchen. Und wo es dort zu finden ist, brauchst du nicht mal rechnerisch machen.

Avatar von 487 k 🚀

Verstehe ich nicht, warum sind jetzt F(0) 50%

F(0) = ∫ (-∞ bis 0) f(x) dx

Kannst du dass Integral berechnen? Das gibt die Fläche, die der Graph mit der x-Achse im negativen Teil der x-Achse bildet.

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