Aufgabe:
(b) Für \( \alpha>0 \) und \( \beta>0 \) sei die Funktion \( f_{\alpha, \beta} \) gegeben durch
\( f_{\alpha, \beta}(x)=\left\{\begin{array}{l} \alpha, \quad x \in[-1,0] \\ e^{-\beta x}, \quad x>0 \\ 0, \quad \text { sonst. } \end{array}\right.\)
(i) Sei \( \alpha>0 \) beliebig, aber num fest. Wie müssen Sie \( \beta \) (in Abhängigkeit von \( \alpha \) ) wählen, damit \( f_{\alpha, \beta} \) die Dichte einer Zufallsvariablen ist?
Im Folgenden sei \( \alpha=0.5 \) und \( \beta=2 \). Betrachten Sie eine Zufallsvariable \( X \) mit Dichte \( f_{0.5,2} \).
(ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P[|X|>0.5] \).
(iii) Geben Sie ein 0.25 -Quantil von \( X \) an.
Problem/Ansatz:
iii) \( F(x)=0,25 \Rightarrow \int \limits_{-1}^{x} 0,5 d x=0,\left.5 x\right|_{-1} ^{x}=0,5 x+0,5 \stackrel{!}{=} 0,25 \mid-0,5 \)
\( \Leftrightarrow 0,5 x=-0,25 / 2 \Rightarrow x_{0,25}=-0,5 \)
Bei Aufgabe b) iii) muss man ja das 0.25 Quantil nehmen, bei der Lösung wurde dann Alpha also 0.5 genommen und entsprechend erstmal aufgeleitet, aber warum nimmt man diese erste Funktion also die 0.5 und nicht e^-2x und leitet diese nicht auf und löst nach entsprechend auf.
Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler, verstehe trotzdem nicht warum man nicht e^-2x nimmt, wegen x>0
