Bestimme die Laurent Reihe von

Question

Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen? Ich schaff es nicht ganz

a)

Bestimme die Laurent Reihe von
\( f(z)=\frac{z-1}{(z-2)(z-3)} \)
für \( 2<|z|<3 \)
b)

Zeige \( \Gamma(z) \) hat Pole erster Ordnung an \( z=-n \) mit \( n=0,1,2 \) und bestimme die Residuen

Hinweis:
\( \Gamma(1-z)=z \Gamma(-z) \)

\( \begin{array}{c}\Gamma(1-z) \Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin \pi z} \\ \Gamma(1)=1\end{array} \)

Comments

"nicht ganz" heißt, teilweise hast Du es schon. Also, welche Teilergebnisse hast Du schon? Was konkret ist noch offen?

Answer 1

Eine PBZ ist schonmal ein guter Anfang - wenn sie richtig ist (Probe! Gerade in einer Klausur!). Da muss man auch nicht mit x+iy und Gauß rechnen.

Also: \(f(x)=\frac2{z-3}-\frac1{z-2}\).

Wir haben ein Ringgebiet, es gilt also für diesen Zweck: \(|z|<3\) und \(\frac2{|z|}<1\). Dazu baue nun die geometrischen Reihen:

Für \(|z|<3\) benutze \(\frac1{z-3}=-\frac13 \frac1{1-\frac{z}3}\).

Für \(\frac2{|z|}<1\) benutze \(\frac1{z-2}=\frac1z\frac1{1-\frac2z}\).

Füge zusammen, das Ergebnis konvergiert dann auf der Schnittmenge der beiden Bereiche, das ist das gewünschte Ringgebiet.

Comments

Ich steh gerade aufm schlauch, wie kommst du auf 2/(z-3)-1/(z-2)?

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PZB

(z - 1)/((z - 2)·(z - 3)) = a/(z - 2) + b/(z - 3)

z - 1 = a(z - 3) + b(z - 2)

Nun gilt für z = 3

3 - 1 = b(3 - 2) --> b = 2

und für z = 2

2 - 1 = a(2 - 3) --> a = -1

Damit kommt man leicht auf:

(z - 1)/((z - 2)·(z - 3)) = -1/(z - 2) + 2/(z - 3)

(z - 1)/((z - 2)·(z - 3)) = 2/(z - 3) - 1/(z - 2)

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Dein Ansatz für die PBZ (bei der anderen Antwort) ist ja richtig. Und flott, wenn Du Dich von z=x+iy verabschiedest. Du hast nur einen Rechenfehler: es muss -3A-2B=-1 sein (nicht +1). Damit klappt es.

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Wenn ich -3A-2B=-1 benutze, komme ich auf B=0. Aber mit dem einsetzen von 2 und 3 für z verstehe ich es :). Muss ich also 2 und 3 einsetzen, weil es ein Ringgebiet ist mit 2<|z|<3? Oder gibt es einen anderen grund

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Nein, kommst Du nicht. A+B=1 und -3A-2B=-1 mit B=0 gäbe A=0.

Einsetzen musst Du gar nichts. PBZ erfordert auf den Hauptnenner bringen, Koeffizientenvergleich und LGS lösen.

Du scheiterst aktuell beim Lösen eines LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

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Hahaha okay ich habs jetzt.. dachte nur dr_mathecoach hat 2 und 3 eingesetzt

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Das Einsetzen ist eine manchmal hilfreiche Methode bei der PBZ. Ist hier aber nicht nötig.

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Das einsetzen ist hier etwas einfacher ein es das Lösen eines linearen Gleichungssystems eben nicht erforderlich macht, an denen viele Schüler scheitern.

a·z + b·z - 3·a - 2·b = z - 1

bedeutet

a + b = 1
- 3·a - 2·b = -1

Ansonsten kann man auch das LGS lösen. Ich empfehle dann meist noch eine Probe zu machen.

Wenn es dir also einfacher mit dem Einsetzen fällt, dann würde ich das empfehlen. Natürlich setze ich hier 2 und 3 ein, weil dann eine Klammer null wird und der Summand komplett wegfällt.

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@mc Es wäre sinnvoller gewesen (ja, und für Dich aufwendiger, weil Du andere Antworten lesen musst), den FS auf seinen Fehler hinzuweisen anstatt hier eine neue Methode zu erklären. Hier völlig unnötig und wie Du siehst, schafft es hier nur weitere Verwirrung.

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Ja, ich bin sehr lesefaul. Es gibt genug spannendere Bücher, als hier in den Kommentaren der Leute zu stöbern.

Das Lesen überlasse ich also lieber Leuten, die sonst Langeweile haben.

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Das Lesen überlasse ich also lieber Leuten, die sonst Langeweile haben.

Besser kannst Du Deine Ignoranz gegenüber den Anliegen der FS nicht demonstrieren. Und auch gegenüber denen, die wirklich helfen wollen. Peinlich für einen Lehrer.

Answer 2

Schreibe f(z) in der Form a/(z-2) + b/(z-3) und entwickle beide Summanden einzeln in eine Reihe.

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Danke! Ich komme allerdings bei der Übertragung auf Reihen irgendwie nicht mehr weiter. Man macht das ja mit dem Limes, dieser existiert doch aber nicht, weil 2<|z|<3.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} f(z)=\frac{z-1}{(z-2)(z-3)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{B}{(z-3)} \\ \Leftrightarrow z-1=A(z-3)+B(z-2) \\ \Leftrightarrow x+i y-1=A(x+i y-3)+B(x+i y-2) \\ =A x+A i y-3 A+B x+B i y-2 B \\ =x \underbrace{(A+B}_{1})+i y \underbrace{(A+B}_{1})-\underbrace{3 A-2 B}_{1} \end{array} \)

GrauB: I \( \left|\begin{array}{c}A+B=1 \\ 3 A-2 B=1\end{array}\right| 3 I-I \left\lvert\, \begin{array}{c}A+B=1 \\ O+5 B=1\end{array} \Rightarrow B=\frac{1}{5} \Rightarrow A=\frac{4}{5}\right. \)
\( \Rightarrow f(z)=\frac{4}{5(2-2)}+\frac{1}{5(z-3)} \text { limes cx. nicht?? } \)

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\( \frac{1}{5z-3}= -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{5}{3}z}\)

Der Teilterm \( \frac{1}{1-\frac{5}{3}z}\) beschreibt die Summe einer geometrischen Reihe mit q=5z/3.

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Aber müsste ja die Klammer bei 5(z-3) beachten. Ich habe jetzt weiter gemacht, weiß allerdings nicht, wie ich die Summe von mknus unendlich laufen lassen kann und wie ich die summen zusammenfügen kann.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \Rightarrow f(z)=\frac{4}{5(z-2)}+\frac{1}{5(z-3)} & =\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{z-2}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{z-3} \\ & =\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{\frac{z}{2}-1}+\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{z}}{\frac{z}{-3}+1} \\ & =\frac{2}{5} \cdot \sum \limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{4}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{-3} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}} \\ & =\frac{6}{15} \cdot \sum \limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{4}-\frac{1}{15} \cdot \sum \limits_{z=0}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^{4}\end{aligned} \)

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Ja, die Klammer habe ich übersehen.

Bei einer Laurent-Reihe dürfen durchaus die Koeffizienten von Potenzen mit negativen Exponenten Null sein:

https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe

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Okay, und wie komme ich jetzt auf die Laurent reihe?