Äquilibrium auf Stabilität untersuchen

Question

kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen ? Ich weiß nicht, wie ich sie machen soll, und mir ist es wichtig, zu wissen, wie ich bei so einer Aufgabe vorgehen soll. Bei einem System von Differentialgelichungen der Form (x‘, y‘)= (…,…) weiß ich, wie das Vorgehen ist, aber hier leider nicht.

Es wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Danke

Betrachten Sie die Gleichung
\( x^{\prime}=\alpha x^{3}, \)
wobei \( x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gesucht und der Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) gegeben ist. Untersuchen Sie das Äquilibrium \( x^{*}=0 \) auf Stabilität.

Answer 1

Man linearisiert die rechte Seite um die Stelle \(x^*\) und untersucht die entstehende lineare Dgl (mit 1x1-Matrix \(f'(0)\)), wobei \(f(x)=\alpha x^3\).

Comments

Aber dann ist f‘(0) = 0. Kann man es auch mit einem Phasenporträt machen ?

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Du könntest das Richtungsfeld skizzieren.

Rechnerisch kannst Du die Dgl einfach lösen, und dann in der Lösung den Grenzwert für \(t\to\infty\) betrachten, in Abhängigkeit von \(\alpha\).

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Ich habe die DGL gelöst und x(t)= +/-(1/(-2C-2alphat))^(1/2) herausbekommen und dann den Grenzwert in Abhängigkeit von Alpha bestimmt. Was sagt mir das jetzt über den Stabilitätsverhalten von x*= 0 aus ?

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Bei Stabilität des Equilibriums geht es doch darum, ob Lösungskurven auf das Equilibrium zu laufen (für \(t\to\infty\)). Zu jedem Anfangswert gibt es eine Lösung, also nicht mehrere (nichts mit \(\pm\)). Drücke die Lösung in Abhängigkeit eines AW \(x(0)=x_0\) aus.

Das asymptotische Verhalten dieser Lösung sollte Dein Ergebnis sein. Es gibt aber versch. Stabilitätsbegriffe/definitionen, es hängt jetzt davon ab, was und wie detailliert das von Euch erwartet wird.