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Ich habe leider ein großes Problem damit zu zeigen, dass eine Abbildung wohldefiniert ist.

wie fange ich hier explizit an um zu zeigen dass die Relation

[(p1,q1)] < [(p2,q2)] <=> p1*q2< p2*q1

wohldefiniert ist?

IMG_5352.jpeg

Text erkannt:

(b) Definiere die Relation ' \( < \) ' auf \( \mathbb{Q}=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{+} / \sim \) durch die Regel
- \( \left[\left(p_{1}, q_{1}\right)\right]<\left[\left(p_{2}, q_{2}\right)\right] \) genau dann, wenn \( p_{1} \cdot q_{2}<p_{2} \cdot q_{1} \).

Zeigen Sie, dass diese Relation wohldefiniert ist und \( \mathbb{Q} \) zu einem geordneten Körper macht.

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Du hast in Deinem Text für die Definition der Relation das Zeichen ~ benutzt. Ist Dir klar, dass das falsch ist?

Ja das war unbedacht, da soll natürlich „<„ stehen

Ist repariert.

1 Antwort

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Es ist zum Beispiel

        \([(1,2)] = [(3,6)]\) und \([(5,7)] = [(10,14)]\).

Wenn '\(<\)' wohldefiniert wäre, dann müsste

        \([(1,2)] < [(5,7)]\)

wegen

        \(1\cdot 7 < 2\cdot 5\)

sein. Somit wäre dann auch

        \([(3,6)] < [(10,14)]\).

Wäre nun

        \(3\cdot 14 \not < 6\cdot 10\),

dann wäre

        \([(3,6)] \not< [(10,14)]\)

und '\(<\)' wäre nicht wohldefiniert.

dass diese Relation wohldefiniert ist

Du musst zeigen, dass aus

        \( p_{1} \cdot q_{2}<p_{2} \cdot q_{1} \)

die Ungleichung

        \( p'_{1} \cdot q'_{2}<p'_{2} \cdot q'_{1} \)

für jeden Repräsentanten \((p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]\) und jeden Repräsentanten \((p'_2,q'_2)\in [(p_2,q_2)]\) folgt.

und \( \mathbb{Q} \) zu einem geordneten Körper macht.

Du musst zeigen, das die Relation '\(<\)' die an die Ordnungrelation gestellten Eigenschaften erfüllt, also dass es eine starke Totalordnung ist, die verträglich mit der Addition und der Multiplikation ist.

Avatar von 107 k 🚀

Vielen Dank, ich habe gerade mal angefangen den Beweis aufzuschreiben, komme aber noch nicht wirklich weiter,

Zusatzinfo: in Aufgabe A hatten wir gezeigt, dass (p1,q1)~(p2,q2) <=> p1q2 = p2q1 eine Aquivalenzrelation auf Z x Z+ definiert


Ansatz bisher:

Sei (p1,q1) < (p2,q2) => p1q2 < p2q1

Und (p1‘,q1‘) < (p2‘,q2‘) => p1‘q2‘ < p2‘q1‘


Ferner folgt aus a:

(p1,q1)~(p2,q2) <=> p1q2 = p2q1

(p1‘,q1‘)~(p2‘,q2‘) <=> p1‘q2‘ = p2‘q1‘

z.z. p1q2<p2q1 => p1‘q2‘ < p2‘q1‘

Wenn Du Dir Deine beiden letzten Zeilen anschaust, siehst Du doch direkt, dass das nicht funktionieren kann.

Folge der Antwort von Oswald und überlege, was

$$(p_1',q_1') \in[(p_1,q_1)]$$

bedeutet.

Seien \([(p_1,q_1)], [(p_2,q_2)]\in \mathbb{Q}\) mit

(1)        \(p_1q_2 < p_2q_1\).

Seien \((p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]\) und \((p'_2,q'_2)\in [(p_2,q_2)]\).

Zu zeigen ist

(2)        \(p'_1q'_2 < p'_2q'_1\).

Wegen \((p'_1,q'_1)\in [(p_1,q_1)]\) ist

        \((p_1,q_1)\sim(p'_1,q'_1)\)

also

(3)        \(p_1q'_1 = p'_1q_1\).

Analog dazu ist

(4)        \(p_2q'_2 = p'_2q_2\).

Forme die Ungleichung (1) unter Verwendung von (3) und (4) so um, dass (2) entsteht.

Dazu wirst du die Kürzungsregel

        \(ab < ac \wedge 0 < a \implies b < c\)

für ganze Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\) oder Vergleichbares benötigen.

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