Rekursion (Standardmethode) an = a_n-1 + 4a_n-2 - 4a_n-3

Question

Lösen Sie (mit der Standardmethode) die Rekursion  

a_n = a_n-1 + 4a_n-2 - 4a_n-3 mit den

Anfangsbedingungen a₀ = 4, a₁ = 6 und a₂ = 10.

Muss hier doch nochmal um hilfe bitten

Comments

Kommst du bei der korrigierten Aufgabe nicht selbst auf das Resultat?

Es hatte doch einen Ansatz bei https://www.mathelounge.de/9766/rekursion-losen-mit-standardmethode-an-a_n-1-4a_n-2-4a_n-3

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Den Text abzuschreiben, wäre schneller und besser gewesen, als hier nen Screenshot reinzusetzen... :(

Answer 1

 

Lösen Sie (mit der Standardmethode) die Rekursion  

a_n = a_n-1 + 4a_n-2 - 4a_n-3 mit den

Anfangsbedingungen a₀ = 4, a₁ = 6 und a₂ = 10.

Charakteristisches Polynom:

x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0

Die Lösungen sind hier: x₁ = -2 ∨ x₂ = 2 ∨ x₃ = 1

Also ist der Ansatz

an = b*(-2)^n + c*2^n + d*1^n
4 = b*(-2)^0 + c*2^0 + d*1^0 = b + c + d
6 = b*(-2)^1 + c*2^1 + d*1^1 = - 2·b + 2·c + d
10 = b*(-2)^2 + c*2^2 + d*1^2 = 4·b + 4·c + d

Das entstehende LGS lösen wir mit dem Gauss-Verfahren und erhalten die Lösung:

b = 0 ∧ c = 2 ∧ d = 2

an = 0*(-2)^n + 2*2^n + 2*1^n = 2^{n+1} + 2

Ich setze mal voraus, dass jeder du in der Lage bist eine Gleichung 3. Grades zu lösen und auch ein Gauss-Schema anzuwenden. Daher zeige ich die Lösungsschritte hier nicht extra.