Aloiha :)
Der Konvergenzratius der Potenzreihe$$p(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(k+1)^k}{k^k}\cdot(x-1)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\underbrace{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}_{\coloneqq a_k}\cdot(x-1)^k$$ist nach Cauchy-Hadamard:$$r=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\left(\sqrt[k]{a_k}\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k+1}{k}\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)}=\frac11=1$$Die Potenzreihe konvergiert also sicher für$$|x-1|<r\implies|x-1|<1\implies-1<x-1<1\stackrel{+1}{\implies}0<x<2$$
An den Rändern \(x_1=0\) und \(x_2=2\) dieses Konvergenzbereichs könnte auch noch Konvergenz vorliegen. Das müssen wir jedoch von Hand prüfen.
Für die untere Intervallgrenze \(x_1=0\) gilt:
$$p(x_1)=p(0)=\sum\limits_{lk=1}^\infty\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot(-1)^k=\sum\limits_{lk=1}^\infty(-1)^k\left(1+\frac1k\right)^k\to\text{nicht definiert}$$Da \(a_k=\left(1+\frac1k\right)^k>1\) keine Nullfolge ist, konvergiert die Potzenzreihe niicht für \(x_1=0\).
Für die obere Intervallgrenze \(x_2=2\) gilt:
$$p(x_2)=p(2)=\sum\limits_{lk=1}^\infty\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\sum\limits_{lk=1}^\infty\left(1+\frac1k\right)^k>\sum\limits_{k=1}^\infty1\to\infty$$
An den Rändern des Konvergenzintervalls liegt also keine Konvergenz vor.
Die Potenzreihe konvergiert für \(x\in(0;2)\).
