Basis berechnen und zeigen?

Question

Seien \( A=(1,-2,4)^{T}, B=(0,3,-1)^{T}, C=(1,1,5)^{T}, P=(4,5,1)^{T}, \underline{a}=(1,1,1)^{T}, \underline{b}=(1,3,0)^{T} \), \( \underline{c}=(1,4,0)^{T}, \underline{d}=(1,1,0)^{T} \) sowie \( g_{1}: X=A+\lambda \underline{a}, g_{2}: X=B+\mu \underline{b}, \varepsilon_{1}: X=C+\lambda \underline{a}+\mu \underline{b}, \varepsilon_{2}: x+3 y-z=2 \). Man berechne:

g) eine rechtsorientierte Basis von \( V_{3} \), die in \( \{\underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{d}\} \) enthalten ist,

Problem/Ansatz:

ich beweise das die Matrix aus den Vektoren eine Basis ist, indem ich die lineare Unabhängigkeit zeige.

Ist das richtig, bzw. muss ich noch etwas anderes zeigen?

Answer 1

Achte auf die Begriffe - eine Matrix ist keine Basis. Eine Basis EINES RAUMS (einfach "Basis" gibt es auch nicht!) ist eine Menge von Vektoren, die

1. lin. unabh. ist

und

2. ein Erzeugendensystem DIESES Raums bildet. Das kann man z.B. dadurch nachweisen, dass die Anzahl der Vektoren der Menge von Vektoren (die man auf Basis prüft), gleich der Dimension DIESES Raums ist. Ist einfach, wenn man die Dimension DIESES Raums kennt.