Endomorphismen und Vektorräume

Question

Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe, die ich bearbeitet habe und wissen wollen würde, ob ich es richtig gemacht habe.

Aufgabe:

Gegeben ist ein n-dimensionaler Vektorraum V und ein Endomorphismus f: V -> V, welcher nilpotent ist, d.h. f^n = 0 und f^(n-1) ≠ 0.

a) Zeige, das 0 der einzige Eigenwert von f ist

b) Zeige, das f nicht bijektiv ist

c) Zeige, das auch alle f^k ≠ 0 sind für k = 1,…,n-1.

d) Zeige das, das Minimalpolynom den Grad n hat

e) Zeige, das die Menge {x,f(x),f^2(x),…,f^(n-1)(x)} eine Basis von V bilden

Meine Lösung:

a) ist klar.

b) Da 0 EW ist, gilt ker(f)≠{0} nach Definition. Dann kann f nicht injektiv sein und somit auch nach Dimensionsformel nicht bijektiv.

c) Angenommen f^2 = 0, so folgt f(f(x))=0 und damit f(x)=0, da f linear ist und f(0)=0 gilt, d.h. aber f=0, was f^(n-1)=0 widerspricht. Analog gilt das für die Annahme f^k = 0, so folgt f^(k-1) = 0 und so weiter bis f=0 mit gleichem Argument.

d) Da das Minimalpolynom p das Polynom ist, welches kleinsten Grad hat und p(f)=0 erfüllt und in dem Falle f^j = 0 nur für j = n gilt, folgt daraus das der Grad n sein muss. Das Minimalpolynom ist hier also die normierte Form des charakteristischen.

e) Das folgt daraus das für x ≠ 0 also f^k(x) ≠ 0 ist für k = 1,…,n-1 und damit die Linearkombination dieser Vektoren nur dann 0 sein kann, wenn alle Koeffizienten davor 0 sind. D.h. sie sind linear unabhängig und wegen dim(V)=n folgt dann auch die Basiseigenschaft. Für x=0 wären sie abhängig.

Sind meine Lösungen richtig (Ich habe es jetzt bischen kurz gefasst, natürlich kann man da bischen präziser werden. Mir gehts nur darum, ob die Idee richtig ist)

Answer 1

Das überzeugt mich nicht.

b) ist ok.

c) "f(f(x))=0 und damit f(x)=0": für welche x? Und warum? f ist ja nicht injektiv.

d) Leuchtet mir nicht ein, wieso deswegen der Grad n sein muss.

e) Hier fehlt in der Beh. die Angabe zu x (denn für x=Nullvektor ist die Beh. falsch). Dann argumentierst Du, dass eine Menge von n Vektoren, die alle nicht der Nullvektor sind, stets linear unabhängig sind. Im Ernst?

Comments

c) Das die Funktion für die x aus dem Kern 0 wird, ist ja hier egal. Tatsache ist, das sie nicht die Nullabbildung sein darf. Denn wenn f^k = 0 ist für ein beliebiges k, dann folgt daraus ja f = 0, da f linear ist. Welches x ich da wähle, ist ja erstmal egal, da es hier um was anderes geht.

d) Weil für einen kleineren Grad sonst p(f)=0 nicht gelten würde, denn für alle k < n gilt ja f^k ≠ 0.

e) Hier stand nicht x ≠ 0. Da hat mich auch gewundert. Aber für x ≠ 0 sei a_1 x + a_2 f(x)+…+a_(n-1) f^(n-1)(x) = 0 eine homogene Gleichung. Da f^k≠0 für alle k < n-1 gilt, kann damit die Gleichung i.A. nur 0 werden, wenn die Koeffizienten a_k = 0 sind, für alle k. Das ist deswegen, da eben alle f^k nicht die Nullabbildungen sind. Daraus folgt die lineare Unabhängigkeit. Die Basissache folgt dann wegen der Dimension.

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c) ok, also x beliebig. Dieser Zusatz gehört in den Beweis. Die Schlussfolgerung ist trotzdem nicht klar.

d) Das sagst Du so, mir reicht das nicht. Ausführlicher bitte.

e) Nein. Beispiel: \(f_i(x)=i\cdot x\), alle \(f_i\neq 0\), trotzdem nicht lin. unabh.

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c) Sei x beliebig, von mir aus x ∈ V \ ker(f). Sei f^2 die Nullabbildung. D.h. es gilt f^2(x) = 0. Also 0 = f^2(x) = f(f(x)). Da f linear (f(0) = 0) ist, folgt f(x) = 0. Da x beliebig war, gilt also f = 0. Das ist ein Widerspruch. Analog für f^k mit k ∈ {1,…,n-1} beliebig. D.h. aus f^(n-1) ≠ 0 folgt aus f^k ≠ 0 für alle k.

d) Das charakteristische Polynom ist ja

c(t) = (-1)^k * t^k. Dieses erfüllt ja c(f) = 0, wobei 0 hier die Nullabbildung ist.  Das Minimalpolynom p ist ein Teiler davon und soll ebenfalls p(f) = 0 erfüllen. Daraus folgt wegen der Nilpotenz, das deg(p) = n ist.

e) Steht jetzt bei mir zwar nicht, fürchte aber das V ein reeler VR sein sollte. Also das wundert mich auch…

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c) Wie gesagt: Aus 0= f(f(x)) folgt eben nicht f(x)=0, da f nicht injektiv ist, hast Du selbst gezeigt.

d) muss ich später in Ruhe anschauen

e) War ein Beispiel für eine Menge mit Vektoren, die alle ungleich 0 sind, aber trotzdem linear abhängig.

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c) Stimmt. Habe ich voll vergessen.

Bei e) steht das wie gesagt in der Aufgabe so, das dieses System wohl eine Basis ist. Da bin ich jetzt auch bischen überfragt.

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e) das ist schon eine Basis, aber nicht mit deiner bisherigen Begründung.

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e) Diese lineare Relation der Vektoren x,f(x),…,f^(n-1)(x) muss ja für alle x aus V eben 0 ergeben. Da aber f^k alle nicht die Nullabbildungen sind, sprich es also x aus V gibt, sodass f^k(x) ≠ 0 ist, heisst das, das die lineare Relation somit bzgl. dieser Vektoren x,f(x),…,f^(n-1)(x) für diese x eben nicht 0 werden kann, wenn nicht die Koeffizienten bereits schon 0 sind. Man kann also immer ein x finden, sodas ein f^k(x) ≠ 0 ist und somit die Koeffizienten 0 machen.

Daraus folgt doch dann die lineare Unabhängigkeit

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Diese lineare Relation der Vektoren x,f(x),…,f^(n-1)(x) muss ja für alle x aus V eben 0 ergeben.

Nein. Wir reden von einem(!) beliebigem, aber festen x. Du vernachlässigt wie Festlegung der Variablen, das verwirrt (Dich). Die Beh. lautet: "für alle x in R^n gilt: ... ist eine Basis" (wir haben schon ergänzt, dass x nicht 0 sein darf). Der Beweis fängt daher zwingend(!) an mit "sei x in R^n". Danach ist das x fest.

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Okay also x darf dann aber allgemein nicht aus dem Kern sein oder nicht? Denn der Kern ist ja nicht trivial. Man nimmt dann also ein x aus V \ ker(f). Dann wissen wir ja aber auch, das nun wirklich f^k(x) ≠ 0 gilt für alle k.

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Nein, s.o.. Poste mal die vollständige Aufgabe als Foto.

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Ich kann warum auch immer zurzeit keine Fotos hier hochladen. Ich habe die Aufgabe jetzt aber original reinkopiert. a) und b) habe ich weggelassen, da das ja schon klar war.

Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und f: V -> V eine nilpotente lineare Abbildung, d.h. es sei f^n = 0 und f^(n-1) ≠ 0. Zeige

a) …

b) …

c) Das Minimalpolynom hat Grad n

d) Das System x, f(x), f^2(x),…,f^(n-1)(x) bildet eine Basis von V

(Hier war die ursprüngliche Aufgabe c) ein Zusatz). Also die e) wird hier zu d)).

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Naja, dann ist sie genauso wie Du vorher schon gesagt hast. Und damit ist die Aufgabenstellung nicht vollständig, zumindest bei e) (die mit der Basis). Wie Du ja auch schon festgestellt hast, muss nicht nur \(x\neq 0\) sein, sondern \(x\) darf nicht aus \(kern(f)\) sein. Und man sieht dann auch: \(x\) darf nicht aus \(kern(f^2)\) sein, usw.

Mein "Nein, s.o." bezog sich auf einen Teil meines vorigen Kommentars, der aber irgendwie verschwunden ist. Darin sagte ich: Man findet die Aussage e) auch im Internet, aber mit der Zusatzvoraussetzung \(f^{(n-1)}(x)\neq 0\).

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Okay ja hier stand oben nur f^(n-1)≠0. Über das x stand nichts.

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Mit der genannten Zusatzvor. stimmt es. Fang den Beweis sauber an (s.o., nichts weglassen) und wende dann \(f^{(n-1)}\) auf die Gleichung an. Dann siehst Du vermutlich wie's weitergeht.

Ergänzung zu c), Minimalpolynom:

Daraus folgt wegen der Nilpotenz, das deg(p) = n ist.

im Prinzip ja, aber mir geht das zu schnell. Es geht darum, dass der Grad nicht \(<n\) sein kann (was auch aus der Nilpotenz folgt, aber das sollte man genau erklären).

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Also sei x aus V \ ker(f).

Dann sei

μ_1 * x + μ_2 f(x) + … + μ_(n-1) f^(n-1)(x) = 0

eine lineare Relation mit Skalaren μ_i.

Nun wendet man f^(n-1) auf beiden Seiten an und es folgt mit der Linearität

μ_1 f^(n-1)(x) = 0, da alle f^k mit k > n-1 verschwinden (wegen f^n = 0) und wegen der Annahme dann μ_1 = 0. Das kann man dann in die ursprüngliche Gleichung einsetzten. Dann macht man es nochmal, in dem man f^(n-2) auf beiden Seiten anwendet und analog μ_2 = 0 folgert usw… bis am Ende alle μ_j mit j ≠ n-1 verschwinden und dann wegen der Annahme auch μ_1 = 0 folgt. Insgesamt also für alle i = 1,…,n-1: μ_i = 0, was die lineare Unabhängigkeit zeigt. Ist das so richtig?

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Bitte lies doch genau. Ich sagte "mit der Zusatzvoraussetzung \(f^{(n-1)}(x)\neq 0\)." Und genau das benutzt Du ja auch um auf \(\mu_1=0\) zu schließen (und in richtiger Weise), aber \(x\notin kern(f)\) reicht eben nicht.

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Zu c): Also da f nilpotent ist, ist das charakteristische Polynom q(t) = (-t)^n. Das ist der Fall, da jeder nilpotenter Endomorphismus in einer Basis von V durch die Jordanmatrix mit allen Diagonaleinträgen = 0 , dargestellt wird. Nun ist der Grad des Minimalpolynoms höchstens der Grad des charakteristischen Polynoms, also n. Da das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt und somit also die Form p(t) = t^k hat mit k höchstens n, aber zugleich auch die Cayley-Hallington-Bedingung erfüllen muss, d.h. p(f) = f^k = 0, aber f^k = 0 nur ab k = n gilt, muss also deg(p) = k = n sein.

Zu d) (bzw. e))

Mit der Zusatzvoraussetzung muss dann x ja glaube mal nicht mehr im Kern sein. Denn wenn

f^(n-1)(x) ≠ 0 ist, so folgt ja denke mal auch f(x) ≠ 0. Denn umgekehrt wenn f(x) = 0 ist, so verschwindet wegen der Linearität auch die (n-1)-Potenz

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Zu c): Du brauchst hier nur, dass das Minimalpolynom die Gestalt \(p(x)=x^k\) hat. Dann indirekt: angenommen \(k<n\), dann folgt \(f^{(k)}=0\), Widerspruch, fertig. Mach Dir klar, welche logischen Schritte Du brauchst, und verwende nur diese (sonst nichts).

Zu d) "glaube ich", "denke ich" zeigt, es ist Dir noch nicht klar.gehört Notiere die richtige Zusatzbedingung und gehe damit Deinen Beweis nochmal durch und prüfe genau, welche Vor. Du brauchst. Es muss für Dich glasklar sein.

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Hi, sorry das ich bischen spät antworte.
Also c) ist klar. Danke dir.
Bei d) weiss ich aber nicht genau was Du meinst. Ich habe doch bei meinem vorherigen Argument die Zusatzvor. genutzt und das am Ende gefolgert

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Lies doch genau: Du hast gesagt "Sei x aus V \ ker(f)", und ich hab Dir mehrmals gesagt, dass das nicht reicht. Benutzt hast Du zwar die richtige Zusatzvor., aber die falsche erwähnt.

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Ja in dem Fall, sei x aus V beliebig. D.h. wegen der Zusatzvor. gilt ja f^(n-1)(x) ≠ 0 und damit auch f(x) ≠ 0.

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Ja, aber Du musst im Beweis die ZV nennen und dass \(f(x)\neq 0\) ist, brauchst Du nirgendwo. Prüfe Deinen Beweis genau.

Answer 2

Erstmal ist \(n\) überladen. In der Definition von Nilpotenz kann \(n\) verschiedene Werte annehmen. Andererseits ist \(n\) als Dimension des Vektorraums fix. Ob das so in der Aufgabenstellung ist, weiß ich nicht. Auf jeden Fall würde nur so Aufgabenteil d) Sinn machen. Nilpotenz an sich ist aber etwas allgemeineres als das.

a) Ok, wenn du auf dem Übungszettel mehr schreibst als das klar. Irgendwo musst du schon sagen, dass Körper im Allgemeinen nullteilerfrei sein müssen.

b) Ist ein gutes Argument, ginge auch anders aber passt so.

c) Stimme ich nicht mit überein. Das Argument wirkt ziemlich all over the place. Es gibt \(f\) mit \(f^2=0\) aber \(f\neq 0\), z.B. \(M_f=\begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}\).

Etwas "Metagaming", was dir als Vibecheck helfen kann, warum dein Argument so nicht ziehen kann: Wenn \(0\) die einzige nilpotente Matrix wäre (was du ja irgendwie zeigst), wär der Begriff für Mathematiker doch nicht so interessant oder?

Besser wäre es zu zeigen: Ist ein \(f^k=0\) mit \(k\leq n-1\), dann ist \(f^{n-1}=0\), also eher "nach oben" folgern als "nach unten", indem du einfach \(f\) anwendest bis du "oben" bist.

d) Erst einmal klären, welches der beiden \(n\)'s gemeint ist! Die Aussage klappt so nur, wenn beide \(n\)'s die gleichen sind. Stimme ich auch nicht mit dem Argument überein, da es nicht reicht, dass \(f^k\neq 0\) für \(k<n\). Woher weißt du denn aus \(f^k\neq 0\), dass nicht zum Beispiel \(f^k - f^{k-2}-2f+3\cdot \mathrm{id} = 0\) gilt? Da muss ein stärkeres Argument für gemacht werden meiner Meinung nach.

Ich würde hier nutzen: Da \(0\) der einzige Eigenwert von \(f\) ist, liegen alle Eigenwerte in \(K\), es existiert also eine Jordan-Normalform \(J_f\). Diese muss Nullen in der Diagonale haben und darf Einsen dadrüber haben. Jetzt ist aber das kleinste \(k\), sodass \(f^k=0\), die Größe des größten Jordanblocks von \(J_f\). Da dieses \(k\) genau \(n\) ist, muss also \(J_f\) aus einem \(0\)-Jordanblock der Größe \(n\) bestehen. \(M_f\) ist also ähnlich zu \(J_{(0,n)}=\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots\\ 0&0&1&0&\ldots\\ &\ldots&&\ddots\end{pmatrix}\). Das hat offensichtlich als Minimalpolynom \(x^n\), da wir ja nur einen Jordanblock der Größe \(n\) haben.

e) Argument scheint richtig in der Idee, finde ich aber etwas zu unsauber formuliert, um da einen Haken dran zu machen. Edit: Außerdem gilt die Aussage nicht für jedes \(x\) mit \(f(x)\neq 0\). Ich vermute, du hast das wichtige Detail weggelassen, dass es ein \(x\) sein muss, sodass \(f^{n-1}(x)\neq 0\), dessen Existenz als gegeben vorausgesetzt werden kann.

Comments

Dass die Dimension von \(V\) und der Nilpotenzgrad identisch sind, ergibt sich doch aus der Aufgabe.

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Schon klar, und anders kann die Aufgabe ja natürlich nicht stimmen. Wenn die Aufgabenstellung aber tatsächlich wortwörtlich lautete:

[...] welcher nilpotent ist, d.h. fn = 0 und f^(n-1) ≠ 0[,]

dann ist dieser Wortlaut faktisch falsch. Das ist nicht äquivalent zu Nilpotenz, sondern ein Spezialfall davon. Was du ja natürlich weißt, ist mir klar, aber es zu erwähnen finde ich wichtig.

Wenn man nicht aufpasst, könnte man aus der Aufgabe jetzt im Wortlaut mitnehmen: "Ist \(f:V\to V\) nilpotent, dann hat \(f\) ein Minimalpolynom von Grad \(n\text{ }(=\dim V)\)", was katastrophal falsch wäre.

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Ich danke dir für deine ausführliche Antwort.

Zu der einen Sache: Wenn f nilpotent zu einem Grad k ist, so ist das ja der Grad des Minimalpolynoms. In dem Fall ist f nilpotent des Grades n = dimV, was damit also doch auch der Grad des Minimalpolynoms ist.