Wie löst man diese Gleichung?

Question

\((x_1 x_2)   \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1 + x_2)^2\)

Ich verstehe nicht wie man auf diese Gleichung kommt.

Comments

Es geht um Quadratische Formen.  
https://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html

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Das sind eigentlich drei Gleichungen, welche von den dreien verstehst du denn nicht?

Answer 1

Ist die eigentliche Matritzenrechnung denn noch klar. Ich teile das mal auf in zwei getrennte Multiplikationen.

$$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + cy & bx + dy \end{pmatrix} \newline \begin{pmatrix} ax + cy & bx + dy \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = (ax^2 + cxy) + (bxy + dy^2) = ax^2 + (b + c)xy + dy^2$$

Der Rest ist dann ja nur die Faktorisierung einer Teilsumme zu einer binoischen Formel. Was das hier bringen soll, ist aber beliebig unklar. Eigentlich nichts.

Du kannst aber auch den dritten Teil der Gleichung zum zweiten Teil ausmultiplizieren. Ich denke, dann dürfte das auch klar sein.

Comments

Wiederholung anderer Antwort

Das kannst du ja gerne so sehen. Ich finde schon, dass ich es wesentlich hilfreicher dargestellt habe.

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Inhaltlich entspricht es der anderen Antwort. Du nimmst - wie so oft - lediglich mehr Denkarbeit ab. Hilfreicher ist das im Allgemeinen nicht.

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Die Verwendung des Begriffs 'Duplikat' als Begründung der Meldung ist eine Vortäuschung falscher Tatsachen

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Ja, der Begriff trifft es nicht ganz. Dass der Inhalt eine Antwort (im Unterschied zu Kommentar)  rechtfertigt und wesentlich hilfreicher sein soll, ist eine Vortäuschung falscher Tatsachen.

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der Begriff trifft es nicht ganz

Das ist eine extreme Verniedlichung einer üblen Nachrede

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Es wurde lediglich der Punkt Duplikat für die Meldung genutzt. Die Begründung für die Meldung sagt jedoch explizit etwas anderes und Wahrhaftiges, denn mehr als eine Wiederholung der anderen Antwort ist es einfach nicht. Aber ein Redakteur darf hier ja schließlich alles und muss sich nicht an Regeln halten bzw. liefert die dümmsten Rechtfertigungen, die es gibt.

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Was das hier bringen soll, ist aber beliebig unklar. Eigentlich nichts.

Was das hier bringen soll, ist eigentlich klar: Die quadratische Form, die gegeben ist, lässt sich zu einer Summe von Quadraten umformen. Und die ist offensichtlich für \((x_1,\:x_2)\ne (0,\:0)\) positiv und die quadratische Form daher positiv definit.

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Die Meldung 'Duplikat' bedarf keiner Begründung!

Letztere ergibt sich direkt aus der eindeutigen Bedeutung des Begriffs.

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Und die ist offensichtlich ... positiv und die quadratische Form daher positiv definit.

Vielen Dank für die hilfreiche Erklärung.

Answer 2

Es ist hier keine Gleichung zu lösen. Du fragst nach den Umformungen.

Zuerst Vektor mal Matrix mal Vektor: Berechne erst Matrix mal Vektor, ergibt den Vektor \(\binom{2x_1+1x_2}{...}\). Dann den Vektor links dran, also

\((x_1\, x_2)\binom{2x_1+1x_2}{...} = x_1(2x_1+x_2)+ x_2(...)\). Dann fasse zusammen. Beim zweiten =-Zeichen hilft von rechts nach links die binomische Formel.