Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Ecken des Dreiecks vom Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Question

Aufgabe:

A ( 4 | 2 | -1 ) ; B ( 10 | -8 | 9 ) ; C ( 4 | 0 | 1 )

Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Ecken des Dreiecks vom Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Abbildung:

Ansatz:

1. M_a = \( \begin{pmatrix} 7\\-4\\5 \end{pmatrix} \)

2. AM_a = \( \begin{pmatrix} 7\\-4\\5 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-6\\6 \end{pmatrix} \)

3. AS = OA + \( \frac{2}{3} \) • AM_a

AS = \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-1 \end{pmatrix} \) +  \( \frac{2}{3} \) •  \( \begin{pmatrix} 3\\-6\\6 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\-2\\3 \end{pmatrix} \)

3. \( \sqrt{6²+2²+3²} \) = 7

Ist das richtig?

Ich habe den Abstand von der Ecke A bis zum Schnittpunkt berechnet.

Answer 1

Abstand von A zum Schwerpunkt ist 2/3 der Länge von A zu Ma

Ma = 1/2·(B + C) = [7, -4, 5]

|AS| = 2/3·|AMa| = 2/3·|[7, -4, 5] - [4, 2, -1]| = 6

Alternativ den Schwerpunkt berechnen

S = 1/3·(A + B + C) = [6, -2, 3]

|AS| = |[6, -2, 3] - [4, 2, -1]| = 6

Die anderen Abstände genau so bestimmen

|BS| = |[6, -2, 3] - [10, -8, 9]| = 2·√22 = 9.381
|CS| = |[6, -2, 3] - [4, 0, 1]| = 2·√3 = 3.464

Answer 2

Schritt 3 ist falsch. Das liefert dir nicht \(\overrightarrow{AS}\), sondern \(\overrightarrow{OS}\). Der Schwerpunkt ist also \(S(6|-2|3)\). Das kann man auch prüfen, indem man von den entsprechenden Koordinaten der Eckpunkte den Mittelwert berechnet, das heißt für die \(x\)-Koordinate des Schwerpunktes berechnest du den Mittelwert der \(x\)-Koordinaten der Eckpunkte. Für die anderen beiden Koordinaten entsprechend.

Gesucht sind dann die Längen \(|\overrightarrow{AS}|\), \(|\overrightarrow{BS}|\) und \(|\overrightarrow{CS}|\).

Dass deine Lösung nicht passt, kannst du auch folgendermaßen sehen: Der Vektor \(\overrightarrow{AM_a}\) muss kollinear sein zum Vektor \(\overrightarrow{AS}\). Das ist bei dir aber gar nicht der Fall. Es gilt viel mehr \(\overrightarrow{AS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM_a}\). Mache dir klar, warum.

Comments

indem man von den Eckpunkten jeweils den Mittelwert berechnet.

Was ist der Mittelwert eines Eckpunkts?

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Ist verbessert, danke. War etwas unglücklich ausgedrückt.

Answer 3

Man kann das auch einfacher machen.

Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden liegt in der Ebene, die durch die drei Punkte A, B und C definiert ist.

Diese Ebene hat die Gleichung y + z - 1 = 0, liegt also parallel zur x-Achse und ist 45° zur xy-Ebene geneigt.

Da nur die Ebene interessiert und nicht deren Lage im Raum, kann man die Koordinaten der drei Punkte transformieren: Die x-Koordinate bleibt, die y-Koordinate wird zu y / cos 45° = y \( \sqrt{2} \) und die z-Koordinate entfällt. Man erhält so A' (4│2\( \sqrt{2} \)), B' (10│-8\( \sqrt{2} \)) und C' (4│0).

Für den Schwerpunkt gibt es eine Formel: Summe der drei x-Koordinaten divididert durch 3 und Summe der drei y-Koordinaten dividiert durch 3. So erhält man S (6│-2\( \sqrt{2} \)) und kann die Distanz zu den drei Ecken jeweils mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen.

Comments

Man kann das auch einfacher machen.

Da bekommt das Wort "einfacher" eine neue (mir bislang völlig unbekannte) Bedeutung.

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mir bislang völlig unbekannte

Das glaube ich nicht.

Die dritte Dimension ist hier völlig unnötig. Wenn vier Punkte in einer Ebene liegen, dann genügt die Ebene.

Mag sein, dass der Aufgabenautor gehofft hat, aber sich nicht zu sagen getraut hat, in der Antwort irgendetwas mit Vektoren und sich schneidenden Geraden im Raum zu bekommen. Wem sein Problem ist das.

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Also wenn du einem Schüler(!!!) etwas von Koordinatentransformation (mit einer räumlichen Drehung) erzählst, ist das "einfacher" einfach nur bitter ironisch zu ertragen.

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Echt? Habe das im Gymnasium gelernt. Bei der Aufgabe hier dreht es ja nur um eine Koordinatenachse, so dass man es im Kopf ausrechnen kann. Und der Winkel ist freundlicherweise bei 45°, was den Cosinus sehr einfach macht.