Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Ecken des Dreiecks vom Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Question

Aufgabe:

A ( 4 | 2 | -1 ) ; B ( 10 | -8 | 9 ) ; C ( 4 | 0 | 1 )

Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Ecken des Dreiecks vom Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Abbildung:

Ansatz:

1. M_a = \( \begin{pmatrix} 7\\-4\\5 \end{pmatrix} \)

2. AM_a = \( \begin{pmatrix} 7\\-4\\5 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-6\\6 \end{pmatrix} \)

3. AS = OA + \( \frac{2}{3} \) • AM_a

AS = \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-1 \end{pmatrix} \) +  \( \frac{2}{3} \) •  \( \begin{pmatrix} 3\\-6\\6 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\-2\\3 \end{pmatrix} \)

3. \( \sqrt{6²+2²+3²} \) = 7

Ist das richtig?

Ich habe den Abstand von der Ecke A bis zum Schnittpunkt berechnet.

Answer 1

Abstand von A zum Schwerpunkt ist 2/3 der Länge von A zu Ma

Ma = 1/2·(B + C) = [7, -4, 5]

|AS| = 2/3·|AMa| = 2/3·|[7, -4, 5] - [4, 2, -1]| = 6

Alternativ den Schwerpunkt berechnen

S = 1/3·(A + B + C) = [6, -2, 3]

|AS| = |[6, -2, 3] - [4, 2, -1]| = 6

Die anderen Abstände genau so bestimmen

|BS| = |[6, -2, 3] - [10, -8, 9]| = 2·√22 = 9.381
|CS| = |[6, -2, 3] - [4, 0, 1]| = 2·√3 = 3.464

Answer 2

Schritt 3 ist falsch. Das liefert dir nicht \(\overrightarrow{AS}\), sondern \(\overrightarrow{OS}\). Der Schwerpunkt ist also \(S(6|-2|3)\). Das kann man auch prüfen, indem man von den entsprechenden Koordinaten der Eckpunkte den Mittelwert berechnet, das heißt für die \(x\)-Koordinate des Schwerpunktes berechnest du den Mittelwert der \(x\)-Koordinaten der Eckpunkte. Für die anderen beiden Koordinaten entsprechend.

Gesucht sind dann die Längen \(|\overrightarrow{AS}|\), \(|\overrightarrow{BS}|\) und \(|\overrightarrow{CS}|\).

Dass deine Lösung nicht passt, kannst du auch folgendermaßen sehen: Der Vektor \(\overrightarrow{AM_a}\) muss kollinear sein zum Vektor \(\overrightarrow{AS}\). Das ist bei dir aber gar nicht der Fall. Es gilt viel mehr \(\overrightarrow{AS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM_a}\). Mache dir klar, warum.

Comments

indem man von den Eckpunkten jeweils den Mittelwert berechnet.

Was ist der Mittelwert eines Eckpunkts?

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Ist verbessert, danke. War etwas unglücklich ausgedrückt.