Warum bleiben die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x) = ax2 + bx + c gleich, wenn man durch a teilt…

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage, über die ich gerade nachdenke und die vielleicht etwas simpel erscheint…

Warum bleiben die Nullstellen einer quadratischen Funktion  f(x) = ax² + bx + c gleich, wenn man durch a teilt, obwohl sich die Streckung/Stauchung und der Scheitelpunkt der Parabel ändern?

Beispielsweise:

f(x) = 4x² - 16x + 12

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion kann ich mit der Mitternachtsformel/abc-Formel berechnen.

Wenn ich jedoch die Nullstellen mit der pq-Formel berechnen möchte, muss ich die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c in die Normalform umwandeln, indem ich durch a teile: f(x) = x² + px + q (wobei p = b/a und q = c/a)

Dadurch wird aus meiner ursprünglichen Funktion:

f(x) = 4x² - 16x + 12

die Funktion:

f(x) = x² - 4x + 3

Bei beiden quadratischen Funktionen ergeben sich die gleichen Nullstellen x₁ = 3 und x₂ = 1. Jedoch unterschiedliche Streckung/Stauchung und Scheitelpunkt.

Warum hat das Teilen durch  a keinen Einfluss auf die Nullstellen?

Ich hoffe, jemand kann mir das erklären :)

Liebe Grüße

Text erkannt:

\( f(x)=4 x^{2}-16 x+12 \)
\( g(x)=x^{2}-4 x+3 \)

Answer 1

Wird der Graph einer Funktion \(f\) in \(y\)-Richtung um den Faktor a gestreckt, dann wird jeder einzelne Punkt \(P(x_1 \vert f(x_1))\) auf den Punkt \(P'(x_1\vert a\cdot f(x_1))\) abgebildet. Die \(x\)-Koordinaten werden dabei nicht verändert, sondern nur die \(y\)-Koordinaten. War die \(y\)-Koordinate allerdings vorher \(0\), dann ist sie es hinterher wegen \(a\cdot 0=0\) natürlich immer noch.

Answer 2

Obwohl die Nullstellen unverändert bleiben, führt das Teilen der Funktion durch a zu einer Veränderung der Form der Parabel. Die Streckung oder Stauchung sowie die Lage des Scheitelpunkts können sich ändern, aber die Position der Nullstellen bleibt konstant, da sie von den Lösungen der Gleichung abhängig sind und diese sich durch die Division nicht ändern. Der Scheitel ändert sich, nicht aber die Nullstellen, wie du in deinem Beispiel ja schön sehen kannst.

Answer 3

Die Division einer Gleichung durch eine Zahl ungleich 0 stellt eine Äquivalenzumformung dar, das heißt, die Lösungen der Gleichung bleiben unverändert. Folglich haben die Gleichungen

\(ax^2+bx+c=0 \quad |\,:\,a\) und

\(x^2+px+q=0\) mit \(p=\frac{b}{a}\) und \(q=\frac{c}{a}\) dieselben Lösungen. Man beachte \(\frac{0}{a}=0\).

Also haben die zugehörigen Parabeln in allgemeiner Form bzw. Normalform dieselben Nullstellen.