Hallo,
ich hätte einen Beweis. Jedoch beruht meine Idee auf die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit. (Ich hatte in meiner vorherigen Version eine Kleinigkeit vergessen, habe es jetzt ergänzt)
Der Beweis.
Sei ein reeles ε > 0 gegeben und a ∈ X. Da die Folge (f_n) gleichmässig gegen f konvergiert, finden wir ein N ∈ |N, sodass für alle x ∈ X und n > N-1,
d(f_n (x), f(x)) < ε/3 gilt. (Insbesondere auch d(f_n (a),f(a)) < ε/3, da ja a ∈ X ist).
Da für alle n die Funktionen f_n stetig in a sind, finden wir eine Folge (δ_n) mit δ_n > 0 für alle n, sodass für d(x,a) < δ_n, dann die Abschätzung
d(f_n (x), f_n (a)) < ε/3 gilt.
Dann wählt man δ := min{δ_n : n > N-1} > 0, so gilt dann mit der Dreiecksungleichung für alle
n > N-1 und x ∈ U_δ (a) = {x ∈ X : d(x,a) < δ} :
d(f(x),f(a)) < d(f(x),f_n (x)) + d(f_n (x), f_n (a)) + d(f_n (a), f(a)) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
Insgesamt bewiesen wir also, da ja ε beliebig war: Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für alle x ∈ U_δ (a), die Abschätzung d(f(x),f(a)) < ε gilt. Das zeigt nach Definition die Stetigkeit von dem gleichmäßigem Grenzwert f im Punkt a. QED
Nochmal zu der obigen Wahl von δ. Die Idee ist da, das δ so klein wie möglich zu machen.
