Vereinfache den Term mit Hilfe der Potenzgesetze

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle (u-v) \cdot \sqrt{1+\frac{4 u v}{(u-v)^{2}}} \)

Lösung u+v

Problem/Ansatz:

wie löst man nur mithilfe der Potenzgesetze diesen Term um ihn zu vereinfahcen kann jemand helfen? Chatgpt etc. geben mir Lösungswege an die nicht wirklich mit den Potenzgesetzten gelöst wurden

Comments

nur mithilfe der Potenzgesetze

Dieser Teil der Aufgasbenstellung ist äußerst ungewöhnlich. Schau noch mal genau nach, ob er in der Originalaufgabe tatsächlich so da steht.

Answer 1

Hallo,

(Ich hatte davor einen kleinen Fehler gemacht, der ist aber jetzt korrigiert)

ich vermute mal u,v sind beliebige reele Zahlen. Das heisst die Differenz u-v kann ja positiv oder auch negativ sein. Kurz vorab sqrt(…) steht für die Wurzel. Also definiere ich die Wurzelfunktion

sqrt: [0,∞) → R, sqrt(x) := x^(1/2).

Wir machen folgende Fallunterscheidungen.

1. Fall: Sei u-v > 0. Dann können wir u-v = |u-v| schreiben, also auch u-v = |u-v| = sqrt((u-v)^2).

Dann gilt mit der Regel sqrt(a)sqrt(b) = sqrt(ab) für alle a,b > 0:

(u-v) sqrt(1+ 4uv / (u-v)^2))

= sqrt((u-v)^2) sqrt(1+ 4uv / (u-v)^2)

= sqrt((u-v)^2 (1+ 4uv / (u-v)^2))

= sqrt((u-v)^2 + 4uv) = sqrt(u^2 - 2uv + v^2 +4uv)

= sqrt(u^2 + 2uv + v^2) = sqrt((u+v)^2) = |u+v|✔️

2. Fall: Sei u-v < 0. Dann ist v-u > 0 und wir können wieder schreiben v-u = |v-u| =

sqrt((v-u)^2). Es gilt vorallem auch (u-v)^2 = ((-1)(v-u))^2 = (-1)^2 (v-u)^2 = (v-u)^2. Dann gilt mit gleichem Wurzelgesetz oben:

(u-v) sqrt(1+ 4uv / (u-v)^2))

= (-1)(v-u) sqrt(1+ 4uv / (v-u)^2))

= -sqrt((v-u)^2)sqrt(1+ 4uv / (v-u)^2))

= -sqrt((v-u)^2 + 4uv) = -sqrt(v^2 -2uv+ u^2+4uv)

= -sqrt(u^2 + 2uv + v^2) = -sqrt((u+v)^2)

= -|u+v| ✔️

Der Fall u-v = 0 kann hier nicht auftreten, da der Ausdruck in der Wurzel dann nicht definiert wäre. ✔️

Insgesamt ist das Ergebnis also:

• |u+v| für u > v

• -|u+v| für u < v

• undefiniert für u = v

Comments

Du hast jeweils am Ende der Rechnungen für die Fälle 1 und 2 einen kleinen Fehler gemacht, indem du den Betrag weggelassen hast.

Nimm einfach mal \(u=-1, v=-5\) für Fall 1.

Du kannst übrigens deine Rechnung etwas kürzen, wenn du die Signum-Funktion \( \operatorname{sg}\) benutzt:

\((u-v) = \operatorname{sg}(u-v)|u-v|\).

Damit kannst du dann das Ergebnis für \(u\neq v\) kompakt schreiben:

\(\operatorname{sg}(u-v)|u+v|\)

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Setz dich doch schon mal mit LaTeX auseinander. Das wirst du für deine Bachelorarbeit sowieso benötigen, macht deine Antwort aber auch wesentlich (!) lesbarer.

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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@Txman
Gerade gesehen ... Apfelmännchen hat denselben Link gepostet, den ich gerade posten wollte.

Also Latex-Kommandos kannst du auf dieser Seite einfach herauskopieren und in deine Antworten, Fragen und Kommentare einfügen.

Geht wirklich fix.

Und ich finde es gut, dass du dich daran versuchst, Fragen zu beantworten.

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Danke für die Korrektur! Ja ich habe da den Betrag einfach am Ende weggelassen (war kurz unüberlegt). Jetzt müsste es aber stimmen.

Answer 2

Wenn du unter der Wurzel den Hauptnenner bildest und zusammenfasst, steht im Zähler:

(u-v)^2+4uv = u^2-2uv+v^2+4uv = u^2+2uv+v^2 = (u+v)^2

Im Nenner: (u-v)^2

Potenzgesetz anwenden: a^2/b^2 = (a/b)^2

Es bleibt übrig: (u-v)* (u+v)/(u-v) = u+v  

Comments

Das ist nicht ganz richtig.

Wenn ich jetzt zum Beispiel

u = 1 und v = 2 wähle.

Dann hätte ich ja

(u-v) sqrt(1+ 4uv / (u-v)^2)

= (1-2) sqrt(1+ 8/(1-2)^2)

= (1-2) sqrt(9) = -3 = -(u+v) ≠ u+v = 3.

D.h. u+v kann ja nicht für alle u und v das Endergebnis sein. Es ist nur das Ergebnis wenn die Differenz u-v > 0 ist. Für diese Wahl war u-v < 0 und man hat am Ende ein anderes Vorzeichen.

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Und warum? Weil \(\sqrt{x^2}\neq x\), sondern \(\sqrt{x^2}=|x|\).

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Häufiger Fehler, es ist \(\sqrt{a^2}=|a|\), und nicht \(=a\), und bitte Latex benutzen.

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Ja genau. Hatte ich damals auch paar mal gemacht, aber das ist ein wichtiger Unterschied :)

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Das ist nicht ganz richtig.

Ich glaube, dass mehr in der Schule nicht verlangt wird. Dennoch danke für den Hinweis.

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Das wäre eine Katastrophe, wenn man sich in der Schule mit falschen Ergebnissen zufrieden gäbe!

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Was hat denn das mit der Schule zu tun? Es ist ein falsches Ergebnis und das ist es unabhängig davon, ob man jetzt in der Schule ist, an der Hochschule, oder von mir aus auch an der Harvard Universität promoviert.

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Bei der Lösung von Gleichungen lernt man in der Schule eher \(\sqrt{x^2}=\pm x\). Ich gehe mal davon aus, dass es die meisten Lehrer grundsätzlich nicht so genau nehmen (merkt sowieso kein Schüler) oder es einfach gar nicht besser wissen.

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Sicherheitshalber: ...was aber auch falsch ist.

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√x^2 = (x^2)^(1/2) = x^1 = x

Warum gilt das nicht?

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Probier einfach ein paar Werte aus.

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Ich weiß schon, dass man für x auch negative Zahlen einsetzen kann.

Warum kann ich das Potenzgesetz nicht anwenden? Was ist der mathematische Grund?

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Weil das Potenzgesetz hier nicht gilt. Schlag mal die präzise Formulierung nach, achte darauf, was da über x steht.

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Man findet auch häufig folgenden offensichtlich falschen "Beweis":

\(\mathrm{i}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\)

Und deswegen ist Präzision in der Mathematik so wichtig.

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Ganz links sollte wohl \(i^2\) stehen.

Präzision ist das eine, wichtig ist aber, dass Rechenregeln nicht nur Formeln sind, sondern dazu gehört zwingend die Angabe, für welche x (o.ä.) sie gelten. Dies wird gerne mal weggelassen.

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Stimmt. Das Quadrat hats verschluckt.

Richtig, die Voraussetzungen zur Anwendung von Rechenregeln werden zu oft nicht beachtet. Damit lässt sich dann scheinbar alles beweisen. ;)