Hallo,
(Ich hatte davor einen kleinen Fehler gemacht, der ist aber jetzt korrigiert)
ich vermute mal u,v sind beliebige reele Zahlen. Das heisst die Differenz u-v kann ja positiv oder auch negativ sein. Kurz vorab sqrt(…) steht für die Wurzel. Also definiere ich die Wurzelfunktion
sqrt: [0,∞) → R, sqrt(x) := x^(1/2).
Wir machen folgende Fallunterscheidungen.
1. Fall: Sei u-v > 0. Dann können wir u-v = |u-v| schreiben, also auch u-v = |u-v| = sqrt((u-v)2).
Dann gilt mit der Regel sqrt(a)sqrt(b) = sqrt(ab) für alle a,b > 0:
(u-v) sqrt(1+ 4uv / (u-v)2))
= sqrt((u-v)2) sqrt(1+ 4uv / (u-v)2)
= sqrt((u-v)2 (1+ 4uv / (u-v)2))
= sqrt((u-v)2 + 4uv) = sqrt(u2 - 2uv + v2 +4uv)
= sqrt(u2 + 2uv + v2) = sqrt((u+v)2) = |u+v|✔️
2. Fall: Sei u-v < 0. Dann ist v-u > 0 und wir können wieder schreiben v-u = |v-u| =
sqrt((v-u)2). Es gilt vorallem auch (u-v)2 = ((-1)(v-u))2 = (-1)2 (v-u)2 = (v-u)2. Dann gilt mit gleichem Wurzelgesetz oben:
(u-v) sqrt(1+ 4uv / (u-v)2))
= (-1)(v-u) sqrt(1+ 4uv / (v-u)2))
= -sqrt((v-u)2)sqrt(1+ 4uv / (v-u)2))
= -sqrt((v-u)2 + 4uv) = -sqrt(v2 -2uv+ u2+4uv)
= -sqrt(u2 + 2uv + v2) = -sqrt((u+v)2)
= -|u+v| ✔️
Der Fall u-v = 0 kann hier nicht auftreten, da der Ausdruck in der Wurzel dann nicht definiert wäre. ✔️
Insgesamt ist das Ergebnis also:
• |u+v| für u > v
• -|u+v| für u < v
• undefiniert für u = v