Das ist keine zweite Definition, sondern die Vereinfachung der einen Definition.
$$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n! \cdot (2n - n)!} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$$
Natürlich ist es viel aufwändiger, dies zu benutzen. Aber wenn man nicht auf eine andere Idee kommt, ist auch ein schlechter Weg ein Weg.
Und auch schlechte Wege können zum Ziel führen.