Question

Zeigen sie dass \( 2 n \) über \( n \) immer gerade ist

\( \binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} \quad\binom{2 n}{n}=\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n)!} \)
IA: \( n=0: \frac{(2 \cdot 0)!}{0!(2 \cdot 0-0)!}=\frac{1}{1}=1 \) Nein
\( \begin{array}{l} n=1: \frac{(2 \cdot 1)!}{1!(2 \cdot 1-1)!}=\frac{2!}{1!\cdot 1!}=2 ja\\ n=2: \frac{(2 \cdot 2)!}{2!(2 \cdot 2-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}=\frac{24}{4}=6  \end{array} \)

IV: \( \binom{2 n}{n} \) immer gerade \( \left.\forall n \geq 1\right\}\binom{2 n}{n}=\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n)!} \)
\( z . z \).: \( n=n+1:\binom{2(n+1)}{n+1} \) immer gerade \( \forall n \geq 1 \)

IS: \( \binom{2(n+1)}{n+1}=\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!((2(n+1))-(n-1))!}=\frac{(2 n+2)!}{(n+1)!\cdot(2 n+2-n+1)!} \)
\( =\frac{(2 n+2)!}{(n+1)!\cdot(n+3)!}= \)

Problem: Ich komme nicht mehr weiter. Und hätte ich für die Definition auch 2n über n = \(\frac{(2n)!}{(n!)^2}\) verwenden können?

Comments

Hallo,

vielleicht so:

Sei \(\displaystyle\binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\) gerade.

 \(\displaystyle\binom{2(n+1)}{n+1}\\=\dfrac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}\\=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot\dfrac{2(n+1)\cdot(2n+1)}{(n+1)^2}\)

usw.

:-)

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Dein Induktionsformalismus ist falsch (\(\forall n\)?, \(n=n+1?\) (also \(0=1\)). Schreib das richtig aus deinen Unterlagen ab.

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du doch gar nichts zu rechnen, verwende \(\binom{n}{k}=\frac nk\cdot\binom{n-1}{k-1}\):$$\binom{2n}{n}=\frac{2n}{n}\cdot\binom{2n-1}{n-1}=2\cdot\binom{2n-1}{n-1}$$

Comments

Oh Mann. +1
Manchmal sieht man das Offensichtliche nicht. :-D

Answer 2

Benutze (n über k) = (n-1 über k-1) + (n-1 über k) [Pascal'sches Dreieck] und erkenne,
dass (2n über n) die Summe der beiden gleich großen Binomialkoeffizienten
(2n-1 über n-1) und (2n-1 über n) ist [Symmetrie des P.D.s].

Answer 3

Den Induktionsanfang macht man für gewöhnlich ab \(n=1\), da man 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählt. Aber eine vollständige Induktion braucht man hier gar nicht.

Du solltest hier auch ohne Problerme, mit der Definition auskommen, indem du zeigst, dass mindestens ein Faktor 2 übrig bleibt.

2n über n = \(\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

Was spricht denn dagegen, das zu benutzen?

Comments

warum gibt es hier zwei Definitionen?

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Wieso zwei Definitionen?

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Das ist keine zweite Definition, sondern die Vereinfachung der einen Definition.

$$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n! \cdot (2n - n)!} = \frac{(2n)!}{n! \cdot n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$$

Natürlich ist es viel aufwändiger, dies zu benutzen. Aber wenn man nicht auf eine andere Idee kommt, ist auch ein schlechter Weg ein Weg.

Und auch schlechte Wege können zum Ziel führen.

Answer 4

Wenn Induktion nicht ausdrücklich verlangt ist, kannst du es auch direkt zeigen:
\(\displaystyle 2^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}k \)

\(\displaystyle = \binom{2n}n + \sum_{\stackrel{k\neq n}{k=0}}^{2n}\binom{2n}k\)

\(\displaystyle \stackrel{\binom{2n}{2n-k}=\binom{2n}{k}}{=}\binom{2n}n + 2 \sum_{{k=0}}^{n-1}\binom{2n}k \)