Kurvenintegral mit trigonometrischer Parametrisierung

Question

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Aufgabe 7 (3 Punkte) Gegeben seien \( f: \mathbb{R}^{3} \backslash\left\{(0,0,0)^{\top}\right\} \rightarrow \mathbb{R}: f(x)=\frac{1}{|x|} \) und die Kurve \( K \) mit der Parametrisierung \( C:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}: C(t)=(\cos (t), \sin (t), t)^{\top} \).
Bestimmen Sie
\( \int \limits_{K} f(s) \mathrm{d} s . \)

Wir bestimmen zuerst \( C^{\prime} \). Es gilt
\( C^{\prime}(t)=(-\sin (t), \cos (t), 1)^{\top} . \)

Somit erhalten wir \( \left|C^{\prime}(t)\right|=\sqrt{(\sin (t))^{2}+(\cos (t))^{2}+1}=\sqrt{2} \). Des Weiteren gilt unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras
\( f(C(t))=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} . \)

Damit ist das geforderte Integral
\( \int \limits_{-\pi}^{\pi} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=2 \sqrt{2} \operatorname{arsinh}(\pi), \)

Bei folgender Aufgabe erschließt sich mir nicht ganz, wie man auf diese Parametrisierung kommt. Des Weiteren hätte ich ein Skalarprodukt mit der Ableitung von C genommen und nicht mit der Länge multipliziert. Wieso wird das hier so gemacht?

LG

Comments

Also die Funktion so kann ja schon mal nicht stimmen. Es soll eine Funktion in R^3 \ {(0,0,0)} sein. D.h. da werden dann auch Vektoren (x,y,z) ≠ (0,0,0) eingesetzt. Da kann f(x) nicht stimmen…

Oder du meist den Vektor x ≠ (0,0,0) aus R^3, aber dann muss in der Funktionenvorschrifft ||x|| anstelle von |x| stehen.

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Man verwendet häufig die Konvention \(|\cdot | = ||\cdot ||_2\).

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Des Weiteren hätte ich ein Skalarprodukt mit der Ableitung von C genommen und nicht mit der Länge multipliziert.

Die gegebene Funktion \(f\) ist eine skalare Funktion. Damit entfällt die Möglichkeit, diese mit \(C'(t)\) skalar zu multiplizieren.

\(ds\) im Integral ist meist auch ein guter Indikator dafür, dass es sich hier um ein Kurvenintegral 1. Art handelt: Skalare Funktion wird entlang eines Weges integriert.

Also immer erst einmal in Ruhe die involvierten Funktionen anschauen, statt zu versuchen, sofort mechanisch irgendetwas zu rechnen.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns ein Feld$$f(\vec x)=\frac{1}{\left\|\vec x\right\|}\quad\text{mit}\quad \vec x\ne\vec 0$$

Durch dieses Feld bewegen wir uns entlang des gegebenen Weges \(C(t)\):$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\t\end{pmatrix}\quad;\quad -\pi\le t\le t$$

Jetzt ist dir anscheinend nicht ganz klar, wie das gesuchte Integral zu interpretieren ist:$$\int\limits_C f(\vec x)\,d\vec x=\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\|\vec x\|}\;\frac{d\vec x}{dt}\;dt\qquad\text{oder}$$$$\int\limits_c f(\vec x)\,dx=\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\|\vec x\|}\;\left\|\frac{d\vec x}{dt}\right\|\;dt$$

Im ersten Fall hat der Integrand Vektorcharakter. Du könntest jede Komponente des Integranden einzeln integrieren und hättest dann als Ergebnis einen Vektor. Das kommt manchmal in der Physik vor, aber in der Mathematik ist das eher unüblich.

im zweiten Fall hat der Integrand skalaren Charakter. Dieses Integral kannst du wie in deiner Lösung beschrieben ausrechnen und erhältst als Ergebnis eine reelle Zahl.

Answer 2

Auf welche Parametrisierung denn? Die Kurve ist vorgegeben! Und dann wird nur noch die Definition eines Kurvenintegrals benutzt.

\(\int_{\gamma}\! f\,\mathrm{d}s=\int\limits_a^b\! f(\gamma(t))\cdot ||\gamma'(t)||_2\,\mathrm{d}t\)

Also, was ist jetzt genau unklar?

Comments

Ich bin davon ausgegangen, dass man nur den Cosinus für die x-Komponente einsetzt und nicht alle einzelnen Komponenten im Betrag. Das stimmt aber, die Parametrisierung ist vorgeben. Da bin ich wohl mit einer anderen Aufgabe durcheinander gekommen.