Hallo.
Bevor du die Aufgabe angehst, musst du verstehen was der Zusammenhang zwischen einer linearen Gleichung und einer Geraden ist, welche alle Punkte durchläuft, die die lineare Gleichung erfüllen.
Du hast da eine lineare Gleichung gegeben als ax + by = c, wobei a,b ≠ 0 sind und willst wissen, welche Vektoren (x,y)^T diese Gleichung erfüllen. Wir formen die Gleichung mit der Annahme, das a,b ≠ 0 sind, einfach mal nach der Variablen y um (nach x würde auch gehen). Es gilt y = (c-ax)/b
= c/b - x (a/b)^T , wobei x ∈ |R unsere beliebige Zahl wird.
Also haben die Punkte, welche die obige lineare Gleichung erfüllen, die Form
(x,y)^T = (x, (c-ax)/b)^T = (x, c/b - (a/b)x)^T
=(0, c/b)^T + x (1, -a/b)^T mit x ∈ |R.
(Wir schreiben anstatt x den Parameter r)
Also liegen die Vektoren (x,y)^T welche die obige lineare Gleichung erfüllen auf der Geraden
G : X := (0,c/b)^T + r (1,-a/b)^T. Der Richtungsvektor davon ist somit der Vektor (1,-a/b)^T ∈ |R^2.
Man kann hier das ganze auch schöner schreiben. Du veränderst die Gerade nicht, wenn du den Richtungsvektor mit einer Zahl t ≠ 0 skalierst. Wir skalieren den Richtungsvektor (1,-a/b)^T mit t := b. Dann bekommen wir den ,,neuen‘‘ Richtungsvektor (b,-a)^T. Also kannst du die Gerade G auch schreiben als
G : X = (0, c/b)^T + r (b, -a)^T . Hier ist also dann (b, -a)^T dein Richtungsvektor. Wie du siehst ist der nicht eindeutig :)
Die erste Aussage ist somit z.B. falsch. Die zweite und dritte Aussage sollte klar sein. Die vierte Aussage: Wie prüft man denn allgemein ob so ein Punkt y := r (a,b)^T (r ≠ 0) senkrecht auf g steht? (Stichwort: Skalarprodukt). Die fünfte Aussage: Wie prüft man denn Parallelität, ist der Vektor (b, a) denn linear unabhängig zu dem Richtungsvektor (b, -a) der Geraden G?
