Geradengleichung Allgemeine Form

Question

Ein Gerade \(g\) ist durch ihre allgemeine Geradengleichung \({ a\cdot x + b\cdot y = c }\) mit \({a,\: b,\: c\:\in \mathbb{R} \setminus\left\{0\right\}}\) gegeben.

Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

(1) \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\) ist ein Richtungsvektor der Geraden \( g \).

(2) Jeder Punkt \( P(x \mid y) \), dessen Koordinaten die Gleichung erfüllen, liegt auf \( g \).

(3) Ein Punkt \( P(x \mid y) \), dessen Koordinaten die Gleichung nicht erfüllen, kann auf \( g \) liegen.

(4) Jeder Vektor der Form \( r \cdot\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \) mit \( r \neq 0 \) ist ein Normalvektor der Geraden \( g \).

(5) Jeder Richtungsvektor der Geraden \( g \) ist parallel zu \( \begin{pmatrix} b\\a \end{pmatrix} \).

Würde gerne verstehen, warum ich was ankreuze.

Danke für die Antworten

Lg Derrien

Answer 1

Erste Aussage falsch!

(a | b) kann schon gar nicht der Richtungsvektor sein. Beim Richtungsvektor einer Geraden kann man nämlich schon die Stetigung der Geraden aus der Form y=mx+b, also m ablesen. Due Steigung ist die Division der y-Komponente mit der x-Komponente. m = b/a.

Nun soll aber die Gerade durch die lineare Gleichung ax+by=c gegeben sein. Umformen nach y in die Form y=mx+b bringt dann für y, y=

(c-ax)/b = - a/b • x + c/b. Hierbei ist die Steigng m = - a/b ≠ b/a und das widerspricht der ersten Aussage.

Zweite Aussage richtig (trivial)

Dritte Aussage ist falsch (trivial)

Vierte Aussage korrekt, denn (b | -a) ist ein RV der Geraden. Dann ist also das Skalarpodukt von r(a | b) und (b | -a), dann 0, also sind sie orthogonal.

Fünfte Aussage ist falsch, da (b | a) und (b | -a) linear unabhängig sind

Answer 2

Hallo.

Bevor du die Aufgabe angehst, musst du verstehen was der Zusammenhang zwischen einer linearen Gleichung und einer Geraden ist, welche alle Punkte durchläuft, die die lineare Gleichung erfüllen.

Du hast da eine lineare Gleichung gegeben als ax + by = c, wobei a,b ≠ 0 sind und willst wissen, welche Vektoren (x,y)^T diese Gleichung erfüllen. Wir formen die Gleichung mit der Annahme, das a,b ≠ 0 sind, einfach mal nach der Variablen y um (nach x würde auch gehen). Es gilt y = (c-ax)/b

= c/b - x (a/b)^T , wobei x ∈ |R unsere beliebige Zahl wird.

Also haben die Punkte, welche die obige lineare Gleichung erfüllen, die Form

(x,y)^T = (x, (c-ax)/b)^T = (x, c/b - (a/b)x)^T

=(0, c/b)^T + x (1, -a/b)^T mit x ∈ |R.

(Wir schreiben anstatt x den Parameter r)

Also liegen die Vektoren (x,y)^T welche die obige lineare Gleichung erfüllen auf der Geraden

G : X := (0,c/b)^T + r (1,-a/b)^T. Der Richtungsvektor davon ist somit der Vektor (1,-a/b)^T ∈ |R^2.

Man kann hier das ganze auch schöner schreiben. Du veränderst die Gerade nicht, wenn du den Richtungsvektor mit einer Zahl t ≠ 0 skalierst. Wir skalieren den Richtungsvektor (1,-a/b)^T mit t := b. Dann bekommen wir den ,,neuen‘‘ Richtungsvektor (b,-a)^T.  Also kannst du die Gerade G auch schreiben als

G : X = (0, c/b)^T + r (b, -a)^T . Hier ist also dann (b, -a)^T dein Richtungsvektor. Wie du siehst ist der nicht eindeutig :)

Die erste Aussage ist somit z.B. falsch. Die zweite und dritte Aussage sollte klar sein. Die vierte Aussage: Wie prüft man denn allgemein ob so ein Punkt y := r (a,b)^T (r ≠ 0) senkrecht auf g steht? (Stichwort: Skalarprodukt). Die fünfte Aussage: Wie prüft man denn Parallelität, ist der Vektor (b, a) denn linear unabhängig zu dem Richtungsvektor (b, -a) der Geraden G?

Comments

In Vektoren ist es günstig nicht das Komma, sondern das Semikolon als Trenner zu verwenden.

Weiterhin sollte nach dem Trenner immer ein Leerzeichen erfolgen. Manchmal setzte ich das Leerzeichen auch noch davor.

Statt (0,c / b) schreibe also etwas besser (0; c/b). Gerade wenn du statt b und c Zahlen nimmst, wird das deutlich. Wie würde man (0,1 / 4) interpretieren? Da sind Schüler sehr kreativ. (0; 1/4) hingegen ist recht unproblematisch.

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Dafür gibt's vernünftigen Formelsatz... ;)

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Ja habe es jetzt bischen überarbeitet. Das Semikolon finde ich aber nicht optimal.

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Man kann Formelsatz schreiben, braucht man aber nicht.

Schüler sollten im Optimalfall auch noch mit einem Casio fx-82 umgehen können, der noch keinen schönen Formelsatz besitzt.

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Guter Punkt!

Answer 3

Über die Geradengleichung
g: ax + by = c
solltet ihr mind. folgende drei Dinge gelernt haben.

1. Punkte (x, y) welche die Geradengleichung erfüllen liegen auf der Geraden.
2. Punkte (x, y) welche die Geradengleichung NICHT erfüllen liegen NICHT auf der Geraden.
3. Der Vektor (a, b) ist Normalenvektor der Geraden. D.h. alle Richtungsvektoren der Geraden sind orthogonal zu diesem Normalenvektor.

Daher ist die 2. und 4. Antwort wahr und die anderen falsch.