Lagebeziehungen zweier Geraden

Question

Lagebeziehung zweier Geraden
Gegeben sind zwei Geraden g und h in ℝ²

g:X=\( \begin{pmatrix} 5\\-3\\ \end{pmatrix} \) +t•\( \begin{pmatrix} -6\\8\\\end{pmatrix} \)

und h:X=\( \begin{pmatrix} 8\\-7\\\end{pmatrix} \) +s•\( \begin{pmatrix} 1,5\\-2\\ \end{pmatrix} \)  
Aufgabenstellung
Ermittle durch dokumentierte Überlegungen die Lagebeziehung der beiden Geraden!

Problem/Ansatz: Lg Derrien

Answer 1

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig. Der eine ist ein Vielfaches des anderen.

-4 * [1.5 ; -2] = [-6 ; 8]

Damit sind die Geraden parallel (identisch oder echt parallel) und nicht schneidend oder windschief.

Jetzt musst du prüfen, ob der Stützvektor der einen Geraden sich auf der anderen Geraden befindet. Dann wären die Geraden identisch.

[8 ; -7] - 2 * [1.5 ; -2] = [5 ; -3] → Damit sind die Geraden identisch.

Comments

Kann man für s eine beliebige Zahl nehmen ?

Lg Derrien

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Kein Problem. In den meisten Mathebüchern ist das Schema wie man vorgehen soll auch abgebildet. Schau mal, ob du es findest.

Du kannst es auch mit deinen eigenen Worten aufschreiben, wenn das im Mathebuch viel zu mathematisch mit irgendwelchen komischen Formeln notiert ist.

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Super danke für die Erklärung

Answer 2

Betrachte zunächst die Richtungsvektoren. Sind sie kollinear? Welche Fälle treten dann ein? Sind sie nicht kollinear? Welche Fälle können dann eintreten?

Wo ist das konkrete Problem?

Answer 3

Hallo,

Du hast zwei affine Unterräume (Also in dem Falle, sind es zwei Geraden) im |R^2, mit der gegeben Vorschrift:

G := {(5, -3)^T + t (-6,8)^T : t ∈ |R} ⊂ |R^2

und H := {(8,-7)^T + s (3/2, -2) : s ∈ |R} ⊂ |R^2

Du möchtest wissen was die Menge G ∩ H ist, also die Schnittmenge von G und H. Wann ist ein Punkt (x,y) ∈ G? Genau, falls es eine Zahl t ∈ |R gibt, sodass (x,y) in der konkreten Form geschrieben werden kann, also (x,y)^T = (5, -3)^T + t (-6,8)^T. Analog, ist ein Punkt (x,y) ∈ H, falls es ein s ∈ |R gibt sodass gilt (x,y)^T = (8,-7)^T + s (3/2, -2)^T.

Du suchst aber jetzt die Punkte (x,y) ∈ G ∩ H. (Also die einmal in G und in H liegen). Das heisst für die muss es ein Paar (t,s) ∈ |R^2 geben, sodass gilt: (x,y)^T = (8,-7)^T + s (3/2,-2)

= (5, -3)^T + t (-6,8)^T.

Du hast also ein lineares Gleichungssytem, was du nur noch nach t,s auflösen musst. Du schreibst es um in die folgende Spaltenbild-Form:

s (3/2, -2)^T - t (-6,8)^T = (3,-4)^T.

Also als Zeilenform lautet es

(3/2) s + 6t = 3

-2s - 8t = -4

Das löst du dann mit dem Gauss-Verfahren. Also stell deine Koeffizientenmatrix auf und mache elementare Zeilenunformungen. Am Ende, setzt du von der Lösung (t,s) entweder t in die allgemein in den beliebigen Vektor (5,-3)^T + t (-6,8)^T ∈ G ein, oder eben s in den allgemeinen Vektor aus H und bekommts dann deine(n) gewünschten (Schnitt)-Vektor(en) (x,y)^T ∈ G ∩ H raus.

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Das ist für dein Beispiel irrelevant, aber dennoch eine wichtige allgemeine Sache:

Im |R^2 gilt immer G ∩ H ≠ {}. D.h. sogar wenn die Geraden G und H linear unabhängige Richtungen haben, also somit weder identisch noch parallel sind, so heisst es, das sie sich genau in einem Punkt schneiden. Im Allgemeinen, existiert aber immer mindestens ein Schnittpunkt von G und H.

Im |R^3 bzw. in höherdimensionalen Räumen |R^n mit n ≥ 3, könnte jedoch noch die Windschiefheit zustande kommen. Falls du im LGS einen Widerspruch erhälts, also das LGS unlösbar ist, so ist die Menge G ∩ H leer, also G ∩ H = {} und es gibt keine gemeinsamen Elemente von G und H. Dann sagt man, die Mengen G und H sind absolut disjunkt bzw. die beiden Geraden G und H sind eben windschief. G und H haben also dann keine Schnittpunkte.

Comments

Toll, was du alles so weißt.
@Teco : Du musst das nicht alles wissen. Halte dich an den Plan von A.

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Was ist denn das Problem? Wieso sollte es schlimm sein, es etwas wissenschaftlicher zu erklären? Ich habe da ja auch alles genau begründet…

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Weil ein Schüler/Abiturient damit eher NICHTS anfangen kann. Niveau passt mal wieder nicht zum FS. Zumal man bei diesem Beispiel auch ohne LGS auskommt.

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Ja, so unterschiedlich ist ja jetzt meins nun auch wieder nicht. Ich habe es einfach nur in der Mengenschreibweise gemacht. Mehr neues ist da nicht.

Ja aber die Methode mit dem LGS ist eben die allgemeinere Methode solche Sachen zu analysieren. Er hätte hier ja auch mehrdimensionale Räume haben können…

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Ein Schüler/Abiturient kennt das aber nicht. Du kannst nicht das Wissen, was du hast, bei anderen voraussetzen. Auch nicht, dass das irgendjemand auf diese Art sofort auf Anhieb versteht, vor allem auch dann nicht, wenn man keinen vernünftigen Formelsatz verwendet.

Mehrdimensional ist hier höchstens dreidimensional und da kommt man ebenso ohne das LGS aus. Auch wenn der Ansatz allgemein ist, ist er definitiv nicht optimal, denn - und so lernt man das auch - sollte man sich immer erst einmal die Richtungsvektoren anschauen.

Also für einen angehenden Abiturienten ist die Antwort meiner Ansicht nach nicht sonderlich hilfreich.

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In dem Beispiel sind die Richtungsvektoren linear abhängig und da muss man es nicht mit dem LGS machen. Da hast du Recht. Jedoch hätten sie eben ja auch linear unabhängig sein können. In dem Falle wäre eben das LGS schon notwendig.

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In dem Falle wäre eben das LGS notwendig.

Nein Gerade in dem Fall wäre es erst recht nicht notwendig.

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Doch, da sie sich dann entweder genau in einem Punkt schneiden, oder eben in keinem. Den eventuellen Schnittpunkt (falls existiert) berechnet man dann mithilfe des LGS.

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dann entweder genau in einem Punkt schneiden, oder eben in keinem

Ich korigiere meinen Beitrag von oben in "Schade, was du alles nicht weißt".

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Mein Beitrag war allgemein. Im |R^n mit n > 2 kann es auch sein, das sich die Geraden bei linear unabhängigen Richtingen überhaupt nicht schneiden. Z.B. im |R^3 nennt man soetwas ja auch ,,windschief‘‘. In dem Falle im |R^2 heisst es, falls die Richtungen linear unabhängig sind, das doe Geraden sich in einem Punkt schneiden müssen, denn da können sie nicht windschief sein.

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Deine Versuche, dich aus Fehlern herauszureden, werden langsam penetrant.

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Wo ist denn mein Fehler? Dann erkläre es mal.

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Danke für die ausführliche Erklärung

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Von allen Schülbüchern der Mathematik (die ich kenne) erklärt es eines mit einem LGS der Form das man die beiden Geraden zunächst gleichsetzt.

g = h
[a1, a2] + r * [u1, u2] = [b1, b2] + s * [v1, v2]

Dieses LGS kann

0 Lösungen haben → dann wären die Geraden parallel oder windschief.
genau 1 Lösung haben → die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
unendlich viele Lösungen haben → die Geraden sind Identisch.

Im Fall das es keine Lösung gibt, müsste man jetzt noch prüfen ob die geraden parallel oder windschief sind.

Alle anderen Bücher (die ich kenne) erklären das nach einem Schema, das Apfelmännchen und ich genannt haben. D.h. man untersucht zunächst die lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren.

Richtungsvektoren linear abhängig
 und der Stützvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden → identisch
 und der Stützvektor der einen Geraden liegt nicht auf der anderen Geraden → parallel

Richtungsvektoren linear unabhängig
und g = h besitzt eine Lösung → scheidend
anderen Geraden → identisch
und g = h besitzt keine Lösung → windschief

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@hj266 Ich warte immernoch auf deine Antwort. Du hast mein Beitrag bemängelt, also möchte ich auch ein Argument von dir hören.