Hallo,
Du hast zwei affine Unterräume (Also in dem Falle, sind es zwei Geraden) im |R^2, mit der gegeben Vorschrift:
G := {(5, -3)^T + t (-6,8)^T : t ∈ |R} ⊂ |R^2
und H := {(8,-7)^T + s (3/2, -2) : s ∈ |R} ⊂ |R^2
Du möchtest wissen was die Menge G ∩ H ist, also die Schnittmenge von G und H. Wann ist ein Punkt (x,y) ∈ G? Genau, falls es eine Zahl t ∈ |R gibt, sodass (x,y) in der konkreten Form geschrieben werden kann, also (x,y)^T = (5, -3)^T + t (-6,8)^T. Analog, ist ein Punkt (x,y) ∈ H, falls es ein s ∈ |R gibt sodass gilt (x,y)^T = (8,-7)^T + s (3/2, -2)^T.
Du suchst aber jetzt die Punkte (x,y) ∈ G ∩ H. (Also die einmal in G und in H liegen). Das heisst für die muss es ein Paar (t,s) ∈ |R^2 geben, sodass gilt: (x,y)^T = (8,-7)^T + s (3/2,-2)
= (5, -3)^T + t (-6,8)^T.
Du hast also ein lineares Gleichungssytem, was du nur noch nach t,s auflösen musst. Du schreibst es um in die folgende Spaltenbild-Form:
s (3/2, -2)^T - t (-6,8)^T = (3,-4)^T.
Also als Zeilenform lautet es
(3/2) s + 6t = 3
-2s - 8t = -4
Das löst du dann mit dem Gauss-Verfahren. Also stell deine Koeffizientenmatrix auf und mache elementare Zeilenunformungen. Am Ende, setzt du von der Lösung (t,s) entweder t in die allgemein in den beliebigen Vektor (5,-3)^T + t (-6,8)^T ∈ G ein, oder eben s in den allgemeinen Vektor aus H und bekommts dann deine(n) gewünschten (Schnitt)-Vektor(en) (x,y)^T ∈ G ∩ H raus.
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Das ist für dein Beispiel irrelevant, aber dennoch eine wichtige allgemeine Sache:
Im |R^2 gilt immer G ∩ H ≠ {}. D.h. sogar wenn die Geraden G und H linear unabhängige Richtungen haben, also somit weder identisch noch parallel sind, so heisst es, das sie sich genau in einem Punkt schneiden. Im Allgemeinen, existiert aber immer mindestens ein Schnittpunkt von G und H.
Im |R^3 bzw. in höherdimensionalen Räumen |R^n mit n ≥ 3, könnte jedoch noch die Windschiefheit zustande kommen. Falls du im LGS einen Widerspruch erhälts, also das LGS unlösbar ist, so ist die Menge G ∩ H leer, also G ∩ H = {} und es gibt keine gemeinsamen Elemente von G und H. Dann sagt man, die Mengen G und H sind absolut disjunkt bzw. die beiden Geraden G und H sind eben windschief. G und H haben also dann keine Schnittpunkte.
