Hilfe bei Gleichung umwandeln - Stochastische Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

Ich will

P_B(A) = P_{Gegenereignis B}(A)

in P(A∩B) = P(A) * P(B) umwandeln

Problem/Ansatz: Auf diesem Bild sind nur ein paar Kritzeleien worüber man sich im Weiteren kein Kopf zu zerbrechen braucht. Anstatt A und B benutzte ich F und J.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \overbrace{j}^{\substack{\frac{10}{n} \\ \text { end }}} P_{j}(F)=P_{j}(F) \\ \frac{P(F \cap \bar{\gamma})}{P(\jmath)}=\frac{P(F \cap \bar{\jmath})}{P(\bar{\jmath})} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} =\frac{P(F) \cdot P F(\bar{J}) \cdot P(\mathcal{J})}{P(\bar{J})}=P(F) \cdot P(\bar{J}) \end{array} \)

Comments

wer soll die Kritzeleien lesen, wenn es dir nicht wert ist das ordentlich aufzuschreiben (eintippen)

lul

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Hier kann man es vielleicht etwas besser lesen.

Answer 1

sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist

Dies halte ich nicht für ausreichend, weil es "nur" eine verbale Umschreibung der Voraussetzung ist, die zugleich die verbale Umschreibung der Behauptung ist. Ich halte eine formale Umformung für notwendig.

Voraussetzung (Bezeichnung B' für das Gegenereignis):

$$\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A|B)=P(A|B')=\frac{P(A \cap B')}{P(B')}$$

Damit:
$$P(A)=P(A \cap (B \cup B'))=P(A \cap B) + P(A \cap B')\\\quad =P(A \cap B)+\frac{P(A \cap B)P(B')}{P(B)}=P(A \cap B)\frac{P(B)+P(B')}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Also \(P(A \cap B)=P(A)P(B)\)

Comments

Bisher hat keiner einen Pluspunkt gegeben???

Ich fang mal an.

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Vielen herzlichen Dank

Answer 2

Die Gleichung

P(A | B) = P(A | nB)

^{Ich verwende hier für die Bedingung den senkrechten Strich und für das Gegenereignis von B einfach nB.}

sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist. Wenn das so ist dann kann man auch vereinfacht direkt P(A) schreiben

P(A | B) = P(A | nB) = P(A)

Jetzt gilt:

P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B)

Wir dürfen jetzt direkt P(A | B) durch P(A) ersetzen.

P(A ∩ B) = P(B) * P(A)

Comments

sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist.

Das ist gerade das, was gezeigt werden soll. Nur weil das intuitiv vielleicht klar ist, ist das kein mathematischer Beweis.

Wenn das so ist, ist also nichts mehr zu zeigen, denn dann kann man direkt die Formel für die Unabhängigkeit nutzen.