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Aufgabe:

Ich will

PB(A) = PGegenereignis B(A)

in P(A∩B) = P(A) * P(B) umwandeln



Problem/Ansatz: Auf diesem Bild sind nur ein paar Kritzeleien worüber man sich im Weiteren kein Kopf zu zerbrechen braucht. Anstatt A und B benutzte ich F und J.

WhatsApp Image 2024-08-27 at 15.45.36.jpeg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \overbrace{j}^{\substack{\frac{10}{n} \\ \text { end }}} P_{j}(F)=P_{j}(F) \\ \frac{P(F \cap \bar{\gamma})}{P(\jmath)}=\frac{P(F \cap \bar{\jmath})}{P(\bar{\jmath})} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} =\frac{P(F) \cdot P F(\bar{J}) \cdot P(\mathcal{J})}{P(\bar{J})}=P(F) \cdot P(\bar{J}) \end{array} \)

Avatar von

wer soll die Kritzeleien lesen, wenn es dir nicht wert ist das ordentlich aufzuschreiben (eintippen)

lul

Hier kann man es vielleicht etwas besser lesen.

WhatsApp Image 2024-08-27 at 15.45.36.jpg

2 Antworten

+1 Daumen
sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist

Dies halte ich nicht für ausreichend, weil es "nur" eine verbale Umschreibung der Voraussetzung ist, die zugleich die verbale Umschreibung der Behauptung ist. Ich halte eine formale Umformung für notwendig.

Voraussetzung (Bezeichnung B' für das Gegenereignis):

$$\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A|B)=P(A|B')=\frac{P(A \cap B')}{P(B')}$$

Damit:
$$P(A)=P(A \cap (B \cup B'))=P(A \cap B) + P(A \cap B')\\\quad =P(A \cap B)+\frac{P(A \cap B)P(B')}{P(B)}=P(A \cap B)\frac{P(B)+P(B')}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Also \(P(A \cap B)=P(A)P(B)\)

Avatar von 14 k

Bisher hat keiner einen Pluspunkt gegeben???

Ich fang mal an.

Vielen herzlichen Dank

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Die Gleichung

P(A | B) = P(A | nB)

Ich verwende hier für die Bedingung den senkrechten Strich und für das Gegenereignis von B einfach nB.

sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist. Wenn das so ist dann kann man auch vereinfacht direkt P(A) schreiben

P(A | B) = P(A | nB) = P(A)

Jetzt gilt:

P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B)

Wir dürfen jetzt direkt P(A | B) durch P(A) ersetzen.

P(A ∩ B) = P(B) * P(A)

Avatar von 487 k 🚀
sagt direkt aus dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A nicht vom Ereignis B abhängig ist.

Das ist gerade das, was gezeigt werden soll. Nur weil das intuitiv vielleicht klar ist, ist das kein mathematischer Beweis.

Wenn das so ist, ist also nichts mehr zu zeigen, denn dann kann man direkt die Formel für die Unabhängigkeit nutzen.

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