Wo liegt mein Fehler in der Aufgabe?

Question

Hallo, es geht um die Aufgaben 1.2

Um die Nullstelle konkret zu berechnen habe ich jetzt die Produktform gebildet und die die gegeben Koordinate mit dem Y-Achsenabschnitt eingesetzt und bin dann auf -28/9 = 1 * - 7 * -x + 1/12 gekommen.

Ich will die 1/12 mit - rüberbringen und komme dann auf -109/36 und wenn ich dann ÷ 7 mache kommt nicht das richtige Ergebnis raus.

Es muss 5,3333 rauskommen.

Ich weiß ich muss die -1/12 nicht rüber bringen aber es muss doch trotzdem funktionieren wo liegt da mein Fehler?

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Die gesuchte Funktion hat die doppelte Nullstelle x=1, die unbekannte Nullstelle x_n und die Nullstelle x=7.

Eine solche Funktion hat die Gleichung

f(x)=a*(x-1)²(x-7)(x-x_n).

a=-1/12 ist vorgegeben, und f(0)=-28/9.

Zu lösen ist also die Gleichung

\( -\frac{1}{12}\cdot (-1)^2\cdot (-7)\cdot(-x_n)=-\frac{28}{9} \).

Daraus folgt

\( x_n=\frac{28\cdot 12}{9\cdot 7} \), gekürzt \( \frac{16}{3} \).

Du hast 1/12 als Summand behandelt, dabei ist es ein Faktor.

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Sorry, wenn ich das so sage, aber welcher Idiot hat hier ein nicht passendes Duplikat verlinkt?

Answer 1

Allgemeiner Ansatz

f(x) = - 1/12·(x - 1)^2·(x - n)·(x - 7)

f(0) = -1/12·(0 - 1)^2·(0 - n)·(0 - 7) = -28/9
-7/12·n = -28/9
n = 16/3

Comments

Ich wunder mich gerade. An der Aufgabe ist extra ein Link zu einem Lösungsvideo. Das habe ich mir gerade angesehen. Das hast du vermutlich nicht gemacht oder?

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Wenn ich mir das Video anschaue dann hab ich ja die Lösung, somit lerne ich nix, lieber hier schreiben damit ich es auch verstehe und meinen Fehler finde.

(Ist mein 2 Acc. Hab den Account nicht auf dem Ipad)

Answer 2

Dein Ansatz stimmt nicht. Nutze als Ansatz die Linearfaktorzerlegung, denn du kennst die Nullstellen bis auf eine, den Leitkoeffizienten \(a\) und einen Punkt.

Allgemein ist der Ansatz \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\).

Wegen \(f(0))=-\frac{28}{9}\) erhältst du dann entsprechend

\(-\frac{28}{9}=-\frac{1}{12}(0-1)(0-1)(0-7)(0-x)\), wobei \(x\) die gesuchte Nullstelle ist.

Damit wird ersichtlich, dass du den Leitkoeffizienten falsch interpretiert hast. Rechne nochmal nach.

Comments

-28/9 = 7x + 1/12

Wenn ich die 1/12 rüberbringen will, muss ich doch - 1/12 machen also -28/9 - 1/12 oder?

Wenn ich aber (-28/9) ÷ (- 1/12) und dann / 7 komm ich auf 5,33

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Faktoren bekommt man auf die andere Seite, indem man durch die Faktoren teilt. Du darfst sie nicht subtrahieren.

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-28/9 = 7x + 1/12

Nein. 1/12 ist ein Faktor.

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Ja, dein Ansatz stimmt halt nicht. Wo kommt denn das +1/12 her?

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Jetzt hab ich es verstanden diese - 1/12 muss mit einem × verbunden sein nicht mit einem +

Danke

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Genau, weil es der Leitkoeffizient ist. Betrachte dazu den allgemeinen Ansatz in meiner Antwort.

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@Apfelmännchen @Mathecoache

Gibt es auch eine andere Möglichkeit die Nullstelle zu berechnen oder nur diese?

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Es gibt immer mehrere Wege, die nach ROM führen. Mir fallen auf Anhieb 2 weitere Wege ein, von denen ich allerdings abraten würde.

Was das Lösen der Aufgabe angeht, ist der bisher aufgezeigte Weg mit Sicherheit der einfachste.

Alternativ hier ein Weg über eine Steckbriefaufgabe. Ich nehme wieder f(x) statt T(x).

Ansatz der Funktion 4 Grades:
f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

Wir kennen folgende Bedingungen
a = -1/12
f(0) = -28/9 --> e = - 28/9
f(1) = 0 --> a + b + c + d + e = 0
f'(1) = 0 --> 4·a + 3·b + 2·c + d = 0
f(7) = 0 --> 2401·a + 343·b + 49·c + 7·d + e = 0

Die Lösung des LGS ergibt
a = - 1/12 ∧ b = 43/36 ∧ c = - 21/4 ∧ d = 29/4 ∧ e = - 28/9

und damit die Funktion
f(x) = -1/12·x^4 + 43/36·x^3 - 21/4·x^2 + 29/4·x - 28/9

Und daraus bestimmst du dann die Nullstellen. Aber mal ehrlich. Dieser Weg ist so aufwendig, davon würde ich auf jeden Fall abraten.

Aber aus übungstechnischen Gründen halten das hier vielleicht andere Personen für lohnenswert. Schaden kann es nicht, wenn du es probierst.