Bernoulli-Kette (Bpd,Bcd)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1 Berechnen Sie \( P(X=4) ; P(X \leq 4) ; P(X \geq 3) ; P(1 \leq X \leq 5) \) und \( P(X \leq 1 \) oder \( X \geq 5) \) für eine binomialverteilte Zufallsgröße \( X \) mit den Parametern
a) \( n=50 \) und \( p=0,05 \),
b) \( n=100 \) und \( p=0,03 \).

Ansatz:

Ist das richtig gelöst worden?

Comments

Zur Kontrolle:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Ich habe Fehler gefunden.

a) P(X<=4) = 89,6%, P(X>=3)= 45,9%

Beachte:
P(1<=X<=5) = P(X<=5) -P(X=0)

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Beachte:
P(1<=X<=5) = P(X<=5) -P(X=0)

Das muss er nicht beachten, denn sein Taschenrechner (vermutlich ein Casio) kann P(1<=X<=5) mit Bcd(1,5,50,0.05) bzw. Bcd(1,5,100,0.03) direkt berechnen. Die obere Grenze ist allerdings 5 und nicht 4.

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Ist das richtig gelöst worden?

Ich habe das nicht nachgerechnet, sondern nur durchgelesen.

\( {P(X=4)}\), \({P(X \leq 4)}\) und \(P(X \geq 3) \) sind jeweils richtig in die Sprache des Taschenrechners übersetzt worden.

Bei \(P(1 \leq X \leq 5)\) hast du die obere Grenze 4 benutzt, richtig wäre 5 gewesen.

\( P(X \leq 1 \) oder \( X \geq 5) \) hast du falsch gedeutet; gesucht sind nicht zwei Wahrscheinlichkeiten, sondern nur eine. Nutze den Weg über die Gegenwahrscheinlichkeit.

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\(P(X=4)\), \({P(X \leq 4)}\) und \(P(X \geq 3) \) sind jeweils richtig in die Sprache des Taschenrechners übersetzt worden.

Beim zweiten nicht.

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Beim zweiten nicht.

Das stimmt, den Fehler habe ich übersehen.

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@joudihhuhu: Was verstehst Du unter "(Bpd,Bcd)"?

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@döschwo:

Auch wenn meine Schüler diese Befehle auf ihrem Taschenrechner haben: In meinem Unterricht werden sie nicht verwendet, und ich erkläre sie auch nicht. (Wer sie sich selbst aneignet: okay.)

Damit die Schüller wissen was sie da tun, sieht der TR-Einsatz in meinem Unterricht so aus:

Statt "BCD(0,3,50,0.05)" arbeiten wir mit
Σ( 50 nCr X * 0.05^X * 0.95^(50-X) ,X,3,50)

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Ich heiße zwar nicht joudihhuhu aber:

Bpd = binomial probability distribution
Bcd = binomial cumulated distribution

Wer des englischen nicht mächtig sein sollte, darf im Wörterbuch nachschlagen oder eine KI seiner Wahl beauftragen.

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Ich heiße zwar nicht joudihhuhu

Darum habe ich joudihhuhu gefragt. Ich weiß, was ich darunter verstehe. Die Frage ist, was joudihhuhu darunter versteht.

Wer des englischen nicht mächtig sein sollte

Eine infame Unterstellung eines ungefragten Dritten. Mit Rechtschreibfehler.

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Statt "BCD(0,3,50,0.05)" arbeiten wir mit
Σ( 50 nCr X * 0.05X * 0.95^(50-X) ,X,3,50)

Das kann aber zu Problemen führen. Ich sehe hier außerdem auch kein Argument, das gegen die Verwendung der entsprechenden Befehle spricht.

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Ich sehe hier außerdem auch kein Argument, das gegen die Verwendung der entsprechenden Befehle spricht.

Für die Mehrzahl der Anwender dieses Befehls gilt

"Denn sie wissen nicht (wirklich), was sie tun."

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Tja, wenn sowas im Unterricht nicht vernünftig erklärt wird, ist das ja auch kein Wunder. Ein Argument ist das für mich dennoch nicht. Man kann das aber ganz einfach umgehen, indem man verlangt, dass der mathematisch korrekte Ausdruck hingeschrieben wird, das heißt es muss bspw.

\(P(X=3)=\binom{50}{3}\cdot 0,05^3\cdot 0,95^{47} \approx \dots \) oder

\(P(X\leq 3)=\sum_{k=0}^3 \binom{50}{k} \cdot 0,05^k\cdot 0,95^{50-k}\approx \dots \)

notiert werden und eben nicht nur das Ergebnis. Andernfalls gibt es eben nicht volle Punktzahl. Ich weiß, dass viele Lehrer darauf verzichten, insbesondere auf die zweite Darstellung.

Answer 1

Zur letzten Aufgabe:

\(P(X\leq 1 \text{ oder } X\geq 5)\) kann man auf zwei Weisen lösen.

1) \(P(X\leq 1) + P(X\geq 5)\), denn bei einem "oder" gilt der Additionssatz. Da sich die beiden Bereiche \(X\leq 1\) und \(X\geq 5\) nicht überschneiden, kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten direkt addieren.

2) Über das Gegenereignis. Stellt man sich die angegeben Bereiche an einem Zahlenstrahl vor (mach ruhig mal eine Skizze), dann erkennt man, dass das Gegenteil davon der Bereich zwischen 1 und 5 ist, also \(P(2\leq X \leq 4)\). Die so berechnete Gegenwahrscheinlichkeit subtrahierst du dann von 1.

Answer 2

Hallo.

Das kannst du mit dem GTR ganz einfach nachrechnen. Wie hast du das denn berechnet? Die Bernoulli-Formel kann man natürlich auch nutzen, jedoch ist das viel Rechenarbeit….

Nun zum GTR:

Für die Berechnung von P(X = k), gehst du auf ,,Menü‘‘, dann auf die Stelle ,,5.Warscheinlichkeiten’‘ und anschließend auf den Befehl ,,BinomialPdf‘‘.

Für die kumulierte Warscheinlichkeit P(X ≤ k) genauso, nur gehst du am Ende auf ,,BinomialCdf‘‘.

Bei dem BinomialCdf für P(X ≤ k) gibst du dann als untere Schranke 0 und als obere Schranke dein k an. Ausser bei P(r ≤ X ≤ k) gibst du natürlich für die untere Schranke das r ≥ 0 an und sonst gleich. Hierbei ist also P(X ≤ k) der Spezialfall für r = 0.

Comments

Wie hast du das denn berechnet?

So, wie er es hingeschrieben hat?

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Er hat die Lösungen dahin geschrieben, aber keinen Rechenweg. Deswegen habe ich gefragt.

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Unter den Ergebnissen steht die benutzte Taschenrechnereingabe. Das ist (für mich) der Rechenweg.

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@ txman ?? Er hat doch Funktionsaufrufe mit bpd und bcd angegeben ?? Allerdings mit teilweise falschen Parametern

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Deswegen frage ich auch, ob es richtig ist was ich aufgeschrieben habe!

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Das sagt dir doch schon der GTR :|

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Nicht, wenn man falsche Parameter benutzt. So kompliziert ist sein Anliegen nun auch nicht.

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Ist es jetzt richtig? Ich habe die letzte Aufgabe nicht verstanden und deswegen gelöscht. Kann es mir jmd. erklären?

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So ist das richtig.

Für die letzte Aufgabe würde ich das wie folgt machen. Du kannst aber auch alternativ 2-mal die kumulierte Binomialverteilung nutzen und dann addieren.

P(X ≤ 1 oder X ≥ 5) = 1 - P(2 ≤ X ≤ 4) = 1 - Bcd(2, 4, 50, 0.05)

P(X ≤ 1 oder X ≥ 5) = 1 - P(2 ≤ X ≤ 4) = 1 - Bcd(2, 4, 100, 0.03)