Untervektorräume Aussagen

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen des \( \mathbb{R} \) Vektorraums \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) sind Untervektorräume? Begründen Sie Ihre Aussagen.
(a) \( U_{1}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid f(1)=0\right\} \)
(b) \( U_{2}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid f(0)=1\right\} \)
(c) \( U_{3}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid f\right. \) hat höchstens endlich viele Nullstellen \( \} \)
(d) \( U_{4}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid\right. \) für höchstens endlich viele \( x \in \mathbb{R} \) ist \( f(x) \neq 0\} \)
(e) \( U_{5}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid f\right. \) ist monoton wachsend \( \} \)
(f) \( U_{6}:=\left\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid\right. \) die Abbildung \( g \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) mit \( g(x)= \) \( f(x)-f(x-1) \) liegt in \( U\} \), wobei \( U \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) ein vorgegebener Untervektorraum ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wieso U3 kein Untervektorraum sein soll, offenbar weil 0 nicht in U3 ist, aber bei Nullstellen ist doch U3 dabei?

Comments

offenbar weil 0 nicht in U3 ist

Mache dir klar, was für ein Objekt hier mit " 0 "  bezeichnet wird.

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ja der nullvektor, aber ist der nicht dann drin?

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ja der nullvektor

kann nicht falsch sein, aber in welchem Vektorraum ? Und was ist er dann konkret ? (Damit ist gemeint, dass er nicht z.B. der Nullvektor \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) ist.)

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Meinst du weil wir im unendlich großem Raum der reellen Zahlen sind, aber es nur endlich viele Nullstellen gibt, dass der Nullvektor nie vollständig ist weil der auch unendlich viele Nullstellen bräuchte?

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Vor allen(!) anderen Überlegungen mach Dir klar, was für Objekte im UR liegen ("Vektoren" heißen sie alle). Es gibt da z.B. Zahlen, klassische Vektoren (untereinander geschriebene Zahlen mit großen Klammern), Matrizen, Funktionen, und noch vieles mehr. Ohne dass man sich das vorher(!) überlegt, sind weitere Überlegungen von vornherein sinnlos.

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Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Das ist die allgemeine Definition eines Vektors. Das heisst also ein Vektor muss nicht zwangsläufig ein Tupel von Zahlen sein, was du aus der Schule kennst. Ein Vektor kann also auch eine Funktion, eine Matrix, ein Polynom usw… sein. In dem Falle arbeitest du mit Funktionenräumen, wo Vektoren also als Funktionen aufgefasst werden. Der Nullvektor ist in dem Falle nicht der Tupel (0,…,0) sondern die Nullfunktion. Siehe unten mein Kommentar.

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weil wir im unendlich großem Raum der reellen Zahlen sind

Nein, da sind wir nicht.
Der Vektorraum W^D besteht aus allen Funktionen f : D → W mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W, hier (ℝ^ℝ) also aus allen reellwertigen Funktionen mit dem Definitionsbereich ℝ.

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Es gibt doch unendlich viele reelle Funktionen

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Ja und, ist das ein Problem?

Answer 1

Hallo.

Ein linearer Unterraum (Untervektorraum) muss das Nullelement enthalten. In Funktionenräumen ist das Nullelement die Nullfunktion, die überall den Wert 0 hat. Also die Funktion f auf |R definiert mit f(x) = 0 für alle x ∈ |R.

Achte auf die Definition der Menge U_3! Die Funktionen in der Menge sollen endlich viele Nullstellen haben, für eine Funktion f ∈ U_3 soll also nur für endlich viele x ∈ |R, f(x) = 0 gelten.

Kann f also dann in U_3 auch die Nullfunktion sein? Achte auf die obige Definition der Nullfunktion.

Comments

Der FS hat eine konkrete Frage zu \(U_3\) gestellt und du redest wieder drumherum.

Darüber hinaus ist es nicht unbedingt ratsam, irgendwelche Definitionen wiederzugeben. Die Studenten müssen in der Lage sein, entsprechende Definitionen aus ihren eigenen Unterlagen heraussuchen zu können. Zumal es da auch immer mal wieder Abweichungen geben kann.

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Hatte es überlesen. Ist jetzt ok.

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Alles klar! Ich hätte da noch eine weitere Frage, wie zieht man aus U1, dass da die Nullfunktion vorhanden ist? Wir haben doch lediglich f(1)=0 erwähnt, heißt ja nicht sofort f(x)=0. Versteht ihr was ich meine?

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Dir fehlt das math. Handwerkszeug, hier das richtige Lesen der Schreibweisen. Übe das (durch lautes Lesen)!

U_1 ist die Menge aller f....

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U_1 ist der Raum aller Funktionen f, die f(1) = 0 erfüllen. Vorallem erfüllt das auch die Nullfunktion, da bei dieser für jedes x, f(x) = 0, inbesondere auch für x = 1, f(1) = 0 gilt.

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Dass du dem FS immer alles vorkauen musst und du ihm so jedes Mal das Denken abnimmst. Schade.

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Ja, schade, finde ich auch. Zumal das Vorgekaute oft auch gar nicht stimmt.

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@Apfelmännchen

Der FS hat danach explizit gefragt. Wo ist denn hier das Probem? Normalerweise gebe ich keine Lösungen mehr vor.

@nudger

Was ist denn falsch an meiner Aussage?

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Tx ist doch hier nicht der einzige Quereinsteiger, der meinen sich anbahnenden fruchtbaren Dialog mit dem Fragesteller sabotiert.

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Normalerweise... du tust es dennoch immer. Das Problem ist, dass der FS nicht mehr selbstständig denken muss, weil die Lösung dann ja schon da steht. Selbstständiges Denken (können) ist für die Mathematik aber eben eine notwendige Eigenschaft, die man nicht entwickeln kann, wenn man immer wieder die Lösung vorgesetzt bekommt. Viele Probleme beginnen nämlich - wie von nudger schon angesprochen - damit, dass nicht präzise gelesen wird. Also ist der erste Tipp, erst einmal genau zu lesen und zu verstehen, was da eigentlich steht. Das hast du natürlich jetzt wieder brav vorgemacht, dass es der FS nicht mehr tun muss.

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Im Studium ist es wichtig zu lernen mit den Unterlagen umzugehen und sich die Information selbst zu suchen - die Information ist ja vorhanden. Fast sogar das wichtigste. Das nimmst Du dem FS.

Lies genau. Wo hab ich gesagt, dass Deine Aussage falsch ist?

Es ist wirklich mühselig mit Dir. Dein unangebrachter Übereifer mit mangelnder Einsicht, aber Übermaß an Ausreden beschäftigt jeden Tag mehrere Helfer. Beende das bitte, sofort!

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@Txman Antworten finde ich super hilfreich! So kann ich meine Zeit viel effizienter nutzen und weitere Übungsaufgaben bearbeiten! Jeder hat da seine eigene Lernmethoden!

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Die Zeit wäre effizienter investiert, wenn du dich ausgiebig mit deinen Unterlagen beschäftigst. Es mag am Anfang dauern und mühselig sein; der Aufwand wird aber sehr schnell seine Früchte tragen. :)

Und nein, Vorsagen ist nicht hilfreich, weil es kaum bis kein eigenständiges Denken mehr erfordert und damit fördert. Langfristig gesehen ist das sehr ineffizient, unabhängig vom Lerntypen und der Lernmethode.

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@Mathemann Die Hinweise zu dieser Frage von Gast hj..., apfelmännchen und mir zielen genau darauf, dass Du Deine Zeit effizienter nutzt.

Wenn Du das grundlegende Handwerkszeug und das eigene Nachschlagen von Begriffen überspringst, sparst Du Zeit, glaubst Du? Das Gegenteil ist der Fall.

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@nudger, @Apfelmännchen

Ich klatsche da ja nicht einfach die Lösung hin, sondern erkläre es ausführlich und versuche damit dem FS das ganze logisch zu vermitteln. Also ich versuche es intuitiv zu erklären. Mir hat es damals auch geholfen, es besser zu verstehen, was zum Glück jemand bei mir machte.

@Der Mathemann

Danke! Das freut mich, das ich helfen kann :)

Übrigens danke auch für den Stern

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Schade, dass du die Kritik nicht verstehst.

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Ich finde es Top, dass ihr mir alle versucht zu helfen, da bin euch wirklich dankbar. Am Ende des Tages bin ich nur ein Mathestudent im Zimmer der versucht eine von vielen Übungsaufgaben zu lösen, ob schnell oder tiefgehend, am Ende verstehe ich es sowieso, denn sonst würde hier eine weitere Frage auftauchen. Dank der schnellen Antwort habe ich sofort verstanden, dass f(1)=0 eine Bed. sein soll für alle Funktionen in diesem Raum und natürlich ist die Nullfunktion darin enthalten. Das war ein Denkfehler den er schnell beseitigt hat! Danke an euch alle!

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@Apfelmännchen

Ich habe bereits deine Kritik angenommen, das ich keine Lösungen mehr vorgeben soll und das tue ich auch nicht mehr, da ich das eingesehen habe. Jedoch verstehe ich nicht, was hier verkehrt sein soll, dem FS allgemeines Wissen bzgl. Grundlagen zu vermitteln und die Intuition dahinter zu erklären.

@Der Mathemann  Gerne :)

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Dir fehlt das math. Handwerkszeug, hier das richtige Lesen der Schreibweisen. Übe das (durch lautes Lesen)!

U_1 ist die Menge aller f....

Das war der Tipp von nudger. Und was machst du? Du löst es direkt auf. Der FS hatte also keine Gelegenheit sich das einmal selbstständig klarzumachen. Ich traue ihm durchaus zu, dass er früher oder später von selbst darauf gekommen wäre. Das mag zwar am Anfang nicht zeiteffizient sein, langfristig aber durchaus, da er sich intensiver und vor allem bewusster mit dem Problem des präzisen Lesen auseinandersetzt.

Gleiches gilt für das Nachschlagen von Begriffen, Definitionen, etc. Du hattest zunächst die Definition in deiner Antwort vorgegeben. Lass den FS das doch selbst nachschlagen. Sowas gehört einfach zu einem Studium dazu und muss gelernt werden. Viele scheitern schon deswegen an Aufgaben, weil sie genau das nicht können.

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Genau, und dabei geht es nicht um eine zu erklärende Intuition dahinter. Die ersetzt nämlich das genaue Lesen und Arbeiten mit den Begriffen nicht.

Answer 2

Mache dir genau klar, welche Elemente in \(U_3\) sind bzw. sein müssen und beachte, dass man die Elemente eines Vektorraumes Vektoren nennt. Sie müssen nicht die übliche bekannte Darstellung aus der Schule haben. Wie sieht dann der Nullvektor für \(U_3\) aus und warum ist er nicht in \(U_3\) enthalten?