Lineare Gleichung mit zwei Variablen lösen mit vorgegebener lösungsmenge

Question

Aufgabe:

Gib eine lineare Gleichung mit zwei Variablen an, deren Lösungsmenge die beiden angegebenen Zahlenpaare enthält: (2/-1,2), (-1/0,8)

Problem/Ansatz:

Ich finde keine Ansatz um diese Aufgabe zu lösen.

Answer 1

Ziehe eine Gerade durch die beiden Punkte mit den angegebenen Koordinaten.

Beschreibe diese Gerade mit einer linearen Gleichung.

Verwende dazu die Zweipunkteform, oder einen anderen Weg.

Comments

Etwa so könnte das aussehen:

(Lösungsmenge blau, Zahlenpaare rot, lineare Gleichung schwarz)

Answer 2

Weißt du, was eine Gerade ist? Kennst du die Form \(y=mx+b\)? Finde die Gerade, die durch die beiden angegebenen Punkte verläuft.

Frag nach, wenn du Schwierigkeiten hast.

Comments

x = mx + b ist eine Funktionsgleichung…

Ich soll aber eine lineare Gleichung mit 2 Variablen aufstellen  z.b.   ax + bx = 0

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y = m·x + b ist eine lineare Gleichung mit den unbekannten m und b. Du könntest diese auch a und b nennen.

Eine Gleichung der Form

ax + bx = 0

geht nicht weil diese Gleichung kein y enthält. Du hast aber Punkte mit x und y Koordinate, die diese Gleichung erfüllen soll.

ax + by = 0

funktioniert leider auch nicht. Da auf dieser Geraden unbedingt die Triviallösung x = y = 0 liegen muss.

Es würde aber

ax + by = c

funktionieren. Allerdings wären das jetzt 3 Unbekannte. Vielleicht fragst du nochmals genauer nach welchen Ansatz ihr nehmen sollt.

Answer 3

Hallo,

die Zahlenpaare entsprechen Punkten, die - miteinander verbunden - eine Gerade ergeben.

Weißt du, wie man eine Geradengleichung aus zwei Punkten bildet?

Du kannst beispielsweise erst die Steigung ermitteln und diese dann in die Punktsteigungsform einsetzen.

Gruß, Silvia

Answer 4

Du kannst eine Geradengleichung aufstellen:

f(x)= y=mx+b

f(2) = -1,2

f(-1) = 0,8

1. 2m+b = -1,2

2. -m+b = 0,8

subtrahieren:

3m = -2

m= -2/3

einsetzen in 1. oder 2.

2/3+b=0,8 = 4/5

b= 4/5-2/3 = (12-10)/15 = 2/15

y= -2/3*x+ 2/15

Answer 5

Gerade durch die Punkte (2 | -1,2), (-1 | 0,8)

Ansatz

y = m·x + b

Berechne z.B. zuerst die Steigung zwischen den beiden Punkten.

m = (0.8 - (-1.2)) / (-1 - 2) = -2/3

Setze jetzt einen Punkt sowie die Steigung in den Ansatz ein und berechne b.

-1.2 = -2/3·2 + b --> b = 2/15

Damit bekommst du die Gleichung

y = -2/3·x + 2/15

Wir können das auch noch umformen

y = -2/3·x + 2/15
15·y = -10·x + 2
10·x + 15·y = 2

Comments

Eine andere Möglichkeit. Wähle als Ansatz

a·x + b·y = c

Setze jetzt die beiden Punkte für x und y ein und erhalte so 2 Gleichungen

2·a - 1.2·y = c
-a + 0.8·y = c

Additionsverfahren: I + 2II

0.4·y = 3·c --> y = 15/2·c

Jetzt die Lösung für y einsetzen und x berechnen

2·a - 1.2·(15/2·c) = c --> a = 5·c

Damit lautet unsere Gleichung allgemein

5·c·x + 15/2·c·y = c

oder für c = 2 damit keine Brüche mehr auftreten

10·x + 15·y = 2

Answer 6

Hallo.

Hier ein allgemeiner Ansatz, wie du solche Aufgaben angehen kannst.

Eine lineare Gleichung in zwei Unbekannten hat die Form ax + by = c. Nun müssen wir a,b,c passend bestimmen. Wir können hier schon mal c ≠ 0 wählen, da c ≠ 0 einfach eine von den Unbekannten unabhängige Konstante ist. Ich wähle c := 1. Also ist unsere lineare Gleichung nun ax + by = 1.

Hier einen Ansatz, um die Koeffizienten a & b zu bestimmen. Die lineare Gleihung soll von den zwei gegebenen Punkten erfüllt werden, d.h. wir setzen diese Punkte ein und bilden das lineare Gleichungssystem:

2a - 1.2y = 1

-a + 0.8y = 1

Wenn man dieses löst, kommt man auf die Lösungen a = 5 und b = 7.5. Also erfüllt in dem Falle z.B. die lineare Gleichung 5x + 7.5y = 1 deine Aufgabe. D.h. die beiden Punkte von dir sind in der Lösungsmenge dieser Gleichung enthalten.

Comments

Eine lineare Gleichung in zwei Unbekannten hat die Form ax + by = c. Nun müssen wir a,b,c passend bestimmen. Wir können hier schon mal c ≠ 0 wählen, da c ≠ 0 einfach eine von den Unbekannten unabhängige Konstante ist. Ich wähle c := 1. Also ist unsere lineare Gleichung nun ax + by = 1.

Für c ≠ 0 funktionieren dann keine Geraden mehr, die durch den Ursprung gehen.

Das heißt bevor man nicht geprüft hat, ob die Gerade durch den Ursprung geht, sollte man c nicht wählen.

Wie es richtig geht, habe ich bereits vor 7 Stunden unter

https://www.mathelounge.de/1087418/lineare-gleichung-variablen-losen-vorgegebener-losungsmenge?show=1087426#c1087426

beantwortet.

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Ich darf c hier wählen. Das ist schon richtig. Übrigens habe ich hier deine Antwort nicht widerholt, da ich diese Antwort in etwas anderer Form schon zuvor zugestellt hatte und das hier jetzt nur die korrigierte Version ist.

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Ausreden über Ausreden.

Im Allgemeinen darf man \(c\) hier nicht wählen. Die Begründung hat man dir geliefert.

Etwas andere Form? Völlig falsche Form. Und wenn ich mich recht erinnere, stand da auch schon der Kommentar von MC, der genau den gleichen Ansatz enthält.

Fazit: Mehr als "Abschreiben" ist das für mich nicht. Aber da es sowieso nichts bringt, das immer wieder anzuprangern... Darf ja jeder machen, was er möchte. :)

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Ich habe nichts abgeschrieben. Das habe ich gar nicht nötig. Übrigens hatte ich davor einen ähnlichen Ansatz, nur das ich da die Aufgabe ein wenig missverstanden hatte.

c ≠ 0 darf man passend wählen, es hat ja bei mir funktioniert.

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c ≠ 0 darf man passend wählen, es hat ja bei mir funktioniert.

Wer so Mathematik betreibt ...

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@Apfelmännchen

Wenn man das lineare Gleichungssystem

2a - 1.2b = c

-a + 0.8b = c

für beliebiges c löst, so stellt man an der Lösung fest, das c hier beliebig wählbar ist. Man hätte auch c = 0 wählen können, aber das würde dann a = 0 = b folgern, was nicht ausschlaggebend ist. Deswegen habe ich c ≠ 0 geschrieben.

Kurz gesagt: Meine Wahl von c = 1 ist durchaus richtig.

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Es ist kein Problem c ≠ 0 zu wählen, wenn die Gerade nicht durch den Ursprung geht. Wenn die Gerade durch den Ursprung geht hast du ein Problem, weil

ax + by = c

ist eben für x = y = 0 und c ≠ 0 garantiert eine falsche Aussage.

Gestern habe ich ein Video auf Youtube gesehen, welches von dir hätte stammen können.

Life Hack um Ratzefatz aus einer Zahl die Wurzel zu ziehen

√4 = 4 - 2 = 2
√25 = 2 + 5 - 2 = 5
√64 = 6 + 4 - 2 = 8
√196 = 1 + 9 + 6 - 2 = 14

Jetzt du

√289 = 2 + 8 + 9 - 2 = ...

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@Der Mathecoach

Wo steht, das die Gerade durch den Ursprung gehen soll? Das würde hier ja auch nicht funktionieren, da dafür c = 0 sein müsste, aber ist es nicht zielführend, da dann a = b = 0 folgt.

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Und schon wieder verstehst du die Kritik nicht.