Es liegt nahe zu vermuten, dass die gesuchten Geraden in der jeweiligen Tangentialebene zu einem Punkt aus \(E \cap H\) liegen. Das probieren wir als Ansatz:
$$H=\{(x,y,z)\,: \, f(x,y,z)= x^2+y^2-z^2-1=0\}$$
Um Schreibarbeit zu sparen, schreiben wir für Punkte \(p\) in \(E\cap H\) einfach
\(p = (c,s,0)\) mit \(c=\cos t\) und \(s=\sin t\) mit \(t\in [0,2\pi]\)
Tangentialebene \(T_p\) in \(p\):$$\nabla f(p) = \begin{pmatrix} 2c & 2s & 0 \end{pmatrix}$$$$T_p:\: \nabla f(p)\cdot \begin{pmatrix} x - c\\ y-s \\ z \end{pmatrix}=0 \Leftrightarrow c(x-c)+s(y-s)=0$$$$\stackrel{c^2+s^2=1}{\Rightarrow} \boxed{T_p: \: cx+sy=1}\quad (1)$$
Jetzt setzen wir (1) in die Gleichung für \(H\) ein und schauen, was passiert:
\(\stackrel{(1), s\neq 0}{\Rightarrow} y=\frac 1s(1-cx) \quad (2)\)
Den Fall \(s=0\) behandelst du kurz in einer zusätzlichen Rechnung.
\(\stackrel{(2),(1)}{\Longrightarrow} x^2+\frac 1{s^2}(1-cx)^2-z^2-1= 0 \ldots \)
... jetzt etwas rechnen und \(c^2+s^2=1\) benutzen ... Ergebnis:
\((x-c)^2-(sz)^2 = (x-c-sz)(x-c+sz)=0\)
Das sind zusammen mit (1) exakt zwei Geraden in \(H\) durch \((c,s,0)\):
Die Schnittgerade der Ebenen (1) und der Ebene \(x-c-sz= 0\):
\(\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\s \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} s\\-c \\ 1 \end{pmatrix} \)
Die Schnittgerade der Ebenen (1) und der Ebene \(x-c+sz= 0\):
\(\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\s \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -s\\c \\ 1 \end{pmatrix} \)
Hier ist eine 3D-Veranschaulichung. Mit den Knöpfen 5, 6 und 7 kannst du die Ebenen ab- und zuschalten.
Jetzt brauchen wir nur noch ein gutes Argument, wieso die gesuchten Geraden in der Tangentialebene liegen müssen. Vielleicht hat jemand eine Idee. :-)
