Berechne die Maße und die Fläche dieses Rechtecks.

Question

Aufgabe:

Maximales Rechteck unter einer Parabel

Problem/Ansatz:

Der Fläche, die von dem parabelförmigen Graph der Funktion f mit f(x)= -0,5x^2+2 und der Abszisse des Koordinatensystems eingeschlossen wird, soll ein möglichst großes achsenparalleles Rechteck einbeschreiben werden. Berechne die Maße und die Fläche dieses Rechtecks.

Comments

Es fängt mit einer Skizze an, schaffst Du bestimmt. Lade die dann mal hoch.

Answer 1

Seinen die Eckpunkte des Rechtecks bei

A(x, 0) ; B(x, f(x)) ; C(-x, f(x)) ; D(-x, 0) mit x ∈ (0 ; 2)

Dann beträgt der Flächeninhalt:

A(x) = 2·x·f(x) = 4·x - x^3

A'(x) = 4 - 3·x^2 = 0 --> x = 2/3·√3 ≈ 1.155

Maße und Fläche des Rechtecks

Grundseite: 2·(2/3·√3) =  4/3·√3 ≈ 2.309 LE

Höhe: f(2/3·√3) = 4/3 ≈ 1.333 LE

Fläche: A(2/3·√3) = 16/9·√3 ≈ 3.079 FE

Skizze:

Answer 2

Hallo.

Seien x = a, -a die Punkte auf der x-Achse, an dem das Rechteck die Parabel oberhalb berühren soll. Wegen der Symmetrie an der f(x)-Achse hat das Rechteck die Breite a+a = 2a.

Wir setzen die Funktion A : R —> R, welche den Flächeninhalt angeben soll mit der Vorschrift A(a) := 2a*f(a) = 2a (-0.5a^2 + 2) = -a^3 + 4a.

Nun suchen wir die maximale Fläche, was also das Maximum der Funktion A ist. Dafür berechnen wir die Ableitung A‘(a) = -3a^2 + 4 und setzen diese Null um die möglichen Extremstellen zu finden. Es gilt A‘(a) = 0 genau für a = +/- sqrt(4/3). Dann ist sqrt(4/3) das Maximum von A, da A‘‘(sqrt(4/3)) < 0 gilt (Die zweite Ableitung war A‘‘(a) = -6a). Also wird die Fläche des Rechteckes unter der Parabel für x = sqrt(4/3) maximal. Für die maximale Fläche setzt du dann x = sqrt(4/3) in A ein.

Comments

Na toll. Komplettlösung, die dem Fragesteller jede Denkarbeit abnimmt.

Von solchen (doppelt dummen) Fehlern wie

Sei x = a der Punkt,

mal abgesehen.

PS: Oh, ich muss einen Vorwurf zurücknehmen.

Das war ja keine Komplettantwort.

Berechne die Maße und die Fläche dieses Rechtecks.

wurde nicht beantwortet.

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Obwohl er ja eigentlich gar keine Lösungen mehr vorrechnen wollte!

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Wurde übrigens, wie üblich, schon überarbeitet, dabei der Fehler beibehalten und ein weiterer eingebaut.

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Das ist eine typische Aufgabe die immer vorkommt, wo ich es angebracht finde das der FS erstmal etwas vorgemacht bekommt bevor er die nächste solcher Aufgaben löst.

Anscheinend hat der FS nämlich noch keine Erfahrung damit, wo es unpraktisch ist etwas von ihm zu erwarten, was er ja anscheinend nie gemacht hat.

@nudger Was ist denn der ,,neue‘‘ Fehler?

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Wurde übrigens, wie üblich, schon überarbeitet, dabei der Fehler beibehalten und ein weiterer eingebaut.

Habe mir das gerade angeschaut.

Die "Verbesserung" von

Sei x = a der Punkt,

zu

Seien x = +/- a die Punkte auf der x-Achse,

und dann auch noch mit

an dem das Rechteck die Parabel berühren soll.

mit einem Deutsch- und einem Logikfehler

ist schon peinlich.

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Anscheinend hat der FS nämlich noch keine Erfahrung damit, wo es unpraktisch ist etwas von ihm zu erwarten, was er ja anscheinend nie gemacht hat.

Und das weißt Du genau woher?

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Wenn ihr schon dabei seid, könnt ihr ihn auch noch auf den fehlenden Faktor 2 und die fehlende dritte Potenz hinweisen.

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@abakus Aha und wieso sollte das peinlich sein?

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Wo soll ich anfangen?

x=a ist kein Punkt. Punkte haben zwei Koordinaten.

die Punkte auf der x-Achse, an dem das Rechteck

müsste eigentlich (unabhängig vom genannten Fehler) lauten

"die Punkte auf der x-Achse, an denen das Rechteck"

Aber das ist ja sowieso falsch, denn das Rechteck wird von der Parabel nicht an der x-Achse berührt, sondern an Punkten oberhalb der x-Achse.

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@abakus Doch eine Zahl ist ein Punkt und zwar ein Punkt mit einer Komponente bzw. ein eindimensionaler Punkt.

Warum nennt man dann die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion kritische Punkte?

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Bemerkung (Txman “Sonst hätte er einen Ansatz geliefert”)

Die meisten liefern keinen Ansatz, eben weil sie nur eine Lösung abstauben wollen und sich keine Mühe machen wollen, selbstständig etwas zu tun. Das heißt aber eben nicht, dass es im Unterricht nicht vielleicht auch anhand anderer Beispiele besprochen wurde. Wie viele, sind hier nicht in der Lage, Definitionen und Begriffe in ihren Unterlagen nachzuschlagen? Wie viele sind hier nicht in der Lage, ihre bereits durchgeführten Ansätze - wie sie behaupten - zu liefern?

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Warum nennt man dann die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion kritische Punkte?

Wer Ahnung von exakten Formulierungen hat, tut das NICHT.

Doch eine Zahl ist ein Punkt

Vielleicht in deinem Paralleluniversum.

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@abakus Das mit dem kritischen Punkt habe ich aus dem Skript meines Analysis Professors. Übrigens darf eine Zahl durchaus als Punkt interpretiert werden, so wie eine 1x1 Matrix als eine Zahl (das tut man z.B. in der mehrdimensionalen Analysis).

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Die Qualität dieses Skriptes haben wir schon diskutiert. Du wolltest noch nachreichen, was er zum Thema "Extremum" gesagt hat, bin gespannt.

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Ich habe noch nicht die Gelegenheit bekommen ihn zu sprechen. Das mit dem kritischen Punkt steht übrigens auch in anderen Quellen.

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bzw. ein eindimensionaler Punkt.

Sind Punkte eindimensional? Oder gibt es auch andersdimensionale?

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Aus Wikipedia:

Ein Punkt hat dabei die Dimension null.

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Ja die Menge eines Punktes hat die Dimension 0. Beispiel der Nullraum {0}, wobei 0 der Nullvektor ist. Aber das Element selbst liegt ja im zugehörigen Vektorraum V und hat daher auch dessen Dimension.

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Seien x = a, -a die Punkte auf der x-Achse, an dem das Rechteck die Parabel berühren soll.

Ist leider immer noch Unsinn. Dann könnte man auch gleich die Nullstellen der Parabel bestimmen. Aber du hast ja keine Fehler.

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Das fehlende Wort oberhalb steht jetzt neuerdings.

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Ich hatte da schon zuvor geschrieben. Ich bearbeite meine Beiträge öfters. Ich korrigiere da dann aber entweder nur Schreibfehler und versuche es nur besser aussehen zu lassen. Ich habe deine Nachricht auch erst danach gesehen.

Schaue dir gerne meine anderem Beiträge an, wo du rasch merken wirst, das ich sogar Beiträge vor Wochen noch bearbeite. Ich ändere aber inhaltlich nichts!

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Ich erläutere  den fehlenden Faktor 2 und die fehlende dritte Potenz aus meinem Kommentar von oben.
Der Kommentar war an nudger und abakus gerichtet und sollte eigentlich ihr dauerndes Suchen nach einem Haar in der Suppe thematisieren, hat aber sein Ziel nicht erreicht.

Tatsächlich schrieb Tx : Dann ist sqrt(4/3) das Maximum von A , meinte aber dass sqrt(4/3) derjenige x-Wert ist, bei dem A sein Maximum annimt. Die Bestimmung dieses Maximalwertes war in der Aufgabe auch verlangt, er beträgt 2*(sqrt(4/3))^3 .

Answer 3

Die Eckpunkte auf der x-Achse sind (-a|0) und (a|0)

Die anderen beiden Eckpunkte sind damit (-a|-0,5(-a)²+2) und (a|-0,5a²+2)

Kannst du mit diesen Angaben die Breite und die Höhe des Rechtecks angeben?

Comments

Ich glaube der FS hat keine Idee wie er die Differentialrechnung mit der gewöhnlichen Geometrie zusammenbringen soll und kennt daher hier den Zusammenhang nicht. Daher finde ich die Antwort nicht hilfreich.

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Es geht ja auch erst einmal darum, einen Ansatz zu finden und dafür braucht man eben die Formel für die Fläche.

Es ist hier nicht jeder wie du, der alles vorrechnet. Die Antwort führt also in die richtige Richtung und fordert zur Mitarbeit auf.

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Ja, ich erwarte vom Fragesteller eine vorbereitende Eigenleistung. Ich warte deshalb auf seine Antwort auf diese vorbereitende Frage. Dann können wir immer noch in die Differenzialrechnung gehen.

Kümmere dich lieber um deine diversen Fehler.

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Erstmal habe ich keine Fehler. Das kannst du als Fehler ansehen, aber formal sind es keine.

Ich kenne es bei unserem Schulsystem so, das die Lehrer nicht richtig etwas beibringen können. So war es z.B. bei mir. Ich denke mal der Lehrer hat hier nichts als Beispiel gemacht, da der FS ja sonst es schon könnte. Ich finde am besten lernt man in dieser Situation wenn man erstmal etwas vorgemacht bekommt. Vorallem bei solchen Massenaufgaben. Normalerweise gebe ich auch keine Lösungen mehr (siehe meine letzten Antworten) aber hier mache ich eine Ausnahme, da ich die Situation des FS ganz gut nachvollziehen kann.

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Erstmal habe ich keine Fehler.

Das ist vermutlich dein gravierendster Fehler. Du siehst nicht mal die Fehler ein, die man dir klar aufgezeigt hat. Drum mussten andere bei der Mehrzahl deiner bisherigen Antworten hinterherräumen, und Besserung ist nicht in Sicht.

Schade.

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Wenn ich einen richtigen Fehler wirklich erkenne, so korrigiere ich diesen auch so schnell wie möglich. Siehe zum Beispiel bei der Frage ,,Grenzwert mit de L‘Hospital berechnen‘‘, wo ich hingewiesen wurde, das ich einen Rechenfehler machte. Aber wenn es soetwas wie vorhin ist, wo es wohl falsch wäre eine Zahl als Punkt zu interpretieren, was ja nicht falsch ist, sehe ich keinen Grund das zu verbessern.

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Erstmal habe ich keine Fehler.

Jeder Mensch hat Fehler und macht auch welche.

Dass die Leute hier so genervt reagieren, liegt daran, dass du, Txman, so uneinsichtig bist.

Bei Schülerinnen und Schülern kann man über ungenaue Formulierungen hinwegsehen. Da du aber vermutlich Mathe studierst, solltest du dankbar für die korrigierenden Hinweise sein.

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@MonthyPhyton

Erstmal war die Aussage ,,Erstmal habe ich keine Fehler‘‘ auf diesen Beitrag von mir bezogen, da ich hier auch keinen Fehler gemacht habe. Das war nicht allgemein, natürlich mache ich auch Fehler. Übrigens kannst du dir meine letzten Beiträge anschauen, wo ich paar ,,echte‘‘ Fehler machte & dies auch einsah.

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Daher finde ich die Antwort nicht hilfreich.

Musst Du auch nicht. Sie richtet sich nämlich an jemand anderen.