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Aufgaben

Ein Verkehrsunternehmen gibt an, dass 95% der Fahrgäste zufrieden sind.

a) Wie hoch ist demnach die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Fahrgästen höchstens zwei unzufrieden sind?
b) Stellen Sie eine Frage, zu deren Beantwortung die Wahrscheinlichkeit (50 über 2)• 0,9548 • 0,05berechnet wird.


c) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einer davon unzufrieden ist?


d) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?


e) Der Anteil zufriedener Fahrgäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen. Wie groß ist der Anteil zufriedener Fahrgäste nun?


Lösung

IMG_6132.jpeg IMG_6133.jpeg

Text erkannt:

S. 293 , Aufgabe 9c
\( x \) : Anzeni "unzuariediene Fanngīsie" \( k \geq 1 \quad p \geq 0,9 \quad n= \) ?
\( \begin{array}{l} P(x \geq 1) \geq 0,9 \\ \text { 1- } p(x=0) \geq 0,9 \\ 1-\binom{n}{0} \cdot(0,05)^{0} \cdot(0,95)^{n} \geq 0,9 \quad 1-1 \\ -1 \cdot 1 \cdot(0,95)^{n} \geq-0,1 \quad 1 \cdot(-1) \\ \begin{array}{l} (0,95)^{n} \leq 0,1 \text { lin } \\ \text { n.in } 0,95 \leq \text { in } 0,1 \quad \text { i: in } 0,95 \end{array} \end{array} \)
5.293, Aurgabe 9d
\( x \) :Anzeni. unzucriedene Fanrgäsie" \( \quad k \geq 2 \quad p \geq 0,9 \quad n= \) ?
\( \begin{array}{l} P(x \geq 2) \geq 0,9 \\ \begin{array}{c|l} n & \text { eca }(2, x, x, 0,05 \\ 76 & 0,8986 \end{array} \end{array} \)

Problem

Ich konnte die Aufgaben 9a-9d lösen. Doch bei 9e wusste ich die Vorgehensweise nicht. Kann mir jemand meine Lösungen überprüfen und den Ansatz zu 9e geben?

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d) P(X>=2) = 1-P(X<=1) = 1- P(X=0)-P(X=1)

1- 0,95^n- n*0,05*0,95^(n-1) >=0,9

0,95^n - n*0,05*0,95^n/0,95 <= 0,1

Diese Gleichung ist algebraisch nicht lösbar. Näherungsverfahren oder mit technischer Hilfe.

n>=76,3 d.h. n >=77

e) p = Anteil der Unzufriedenen

P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1) = 0,05

(1-p)^100+100*p*(1-p)^99 = 0,05

mit Technikeinsatz komme ich auf:

p= 4,66% d.h. 95,34% sind zufrieden

3 Antworten

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Beste Antwort

e) Der Anteil zufriedener Fahrgäste hat sich nach einer Werbeaktion geändert. Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, ist auf 5% gestiegen. Wie groß ist der Anteil zufriedener Fahrgäste nun?

Ich verwende hier mal keinen besonderen Taschenrechner. Löse die Gleichung

P(x ≤ 1) = (1 - p)^0·p^100 + 100·(1 - p)^1·p^99

P(x ≤ 1) = 100·p^99 - 99·p^100 = 0.05

numerisch, z.B. mit dem Newtonverfahren. Alternativ geht auch ein Intervallschachtelungsverfahren mit einer Wertetabelle vom Taschenrechner.

Ich erhalte als Lösung etwa p = 0.9534

Avatar von 487 k 🚀

Ich habe jetzt deine Rechnung nicht ganz verstanden. Du hast ja die Wahrscheinlichkeit unzufriedener Fahrgäste berechnet, oder?

Wie kann ich denn mit dem GTR die Wahrscheinlichkeit zufriedener Fahrgäste berechnen?

Du hast ja die Wahrscheinlichkeit unzufriedener Fahrgäste berechnet, oder?

Nein. Ich habe den Anteil zufriedener Fahrgäste ermittelt.

p: Anteil zufriedener Fahrgäste
1 - p: Anteil unzufriedener Fahrgäste

Wie kann ich denn mit dem GTR die Wahrscheinlichkeit zufriedener Fahrgäste berechnen?

100·p^99 - 99·p^100 = 0.05
100·p^99 - 99·p^100 - 0.05 = 0

Kannst du also von f(x) = 100·x^99 - 99·x^100 - 0.05 im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 mit dem GTR die Nullstellen bestimmen.

Da ich selber noch nie einen GTR benutzt habe weiß ich nicht genau was der kann. Aber ich denke Nullstellen grafisch zu ermitteln sollte so ein Rechner können oder nicht?

Skizze:

~plot~ 100x^99-99x^100-0.05;[[0|1.1|-1|1]] ~plot~

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Lösungen stimmen. Bei c) und d) fehlt mir jedoch ein ausformulierter Antwortsatz.

Bei 9e ist \(p\) gesucht. Das kannst du genauso ansetzen, wie wenn du \(n\) suchst. Du weißt \(P(X\leq 1)=0,05\) mit \(n=100\).

Avatar von 18 k

IMG_6134.jpeg

Text erkannt:

\( P(x \leqslant 1)=0,05 \)
\begin{tabular}{c|l}
\( p \) & Bcot \( (0,1,100, x) \) \\
\hline & \\
0,046 & 0,0524
\end{tabular}

Ist das richtig?

Das passt, ist aber natürlich nicht exakt. Man kann jetzt noch weitere Nachkommastellen hinzunehmen und sich dann noch näher an die 0,05 rantasten. Ich komme da zum Beispiel auf \(p=0,04655\).

Beachte bitte die Antwort von döschwo, dass es ja um den Anteil der zufriedenen Fahrgäste geht.

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Bei e) ist der Anteil zufriedener Fahrgäste gesucht, das ist 1 - 0,0465598...


und p ≈ 0,0465598... ist Lösung der Gleichung


\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{1}\;\binom{100}{k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{100-k}= \frac{5}{100} \)


Vorausgesetzt, jeder Fahrgast kann sich entscheiden, ob zufrieden oder unzufrieden.

Avatar von 45 k

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