Zeigen Sie, dass die Gleichung

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung
xz − y + z³ = −2
in einer Umgebung von (x0, y0, z0) = (1, 0, −1) nach z aufgelöst werden kann.
Berechnen Sie für die dadurch implizit definierte Funktion z = g(x, y) die Ableitung
g′(0, 1).

Problem/Ansatz:

Schritt 1:

Ich zunächst gesetzt: F(x,y,z) = xz-y+z³+2 = 0.

Die partiellen Ableitungen wären wie folgt: D_pF(x,y,z) = (z, -1, x+3z²)

Die Umgebung (1,0,-1) bei D_F/D_z eingesetzt ergibt 1+3*(-1)² = 4.

4 ist ungleich 0, deshalb kann nach z in der Umgebung (1,0,-1) aufgelöst werden.

Schritt 2:

Um die Ableitung g'(0,1) bzw in meinem Beispiel F'(0,1) zu berechnen benutze ich folgende Formel: - \( \frac{\frac{D_{F}}{D_{x}}}{\frac{D_{F}}{D_{y}}} \)

Das Problem ist das hierbei - \( \frac{z}{-1} \) also z herauskommen würde. Ist der Ansatz richtig? Das hier z herauskommt kommt mir etwas komisch vor...

Answer 1

Hallo.

Es geht hier hauptsächlich um den Satz der impliziten Funktionen, den du geschickt anwenden kannst. Du gehst folgenderweise vor:

1) Sei U := {(x,y,z)^T ∈ |R^3 : xz-y+z^3 + 2 = 0} die Lösungsmenge im |R^3 der gegebenen Gleichung xz-y+z^3 + 2 = 0.

Dann setzt du die Funktionale F : |R^3 —> |R, als F(x,y,z) := xz-y+z^3 + 2, sodass F^(-1)({0}) = U gilt. Erstmal ist (1,0,-1)^T ∈ U und damit eine Lösung der obigen Gleichung. Zunächst berechnen wir die partielle Ableitung von F nach der Variablen z. Leitet man nach z ab, erhält man F_z(x,y,z) = x+3z^2 als partielle Ableitung von F nach der Variablen z. Nun setzten wir den Punkt (1,0,-1)^T ein und erhalten F_z(1,0,-1) = 4 ≠ 0. Da die partielle Ableitung von F nach z in dem Punkt nicht verschwindet, garantiert uns der Satz der impliziten Funktionen, das die Gleichung von U in der Nähe des Punktes (1,0,-1)^T nach einer stetig-differenzierbaren Funktion z : |R^2 —> |R von den Variablen x & y, auflösbar ist.

2) Wir bestimmen die Ableitung von z in (1,0)^T.

Edit: Im Bild fehlt bei der Menge U noch das ,,= 0‘‘ am Ende vor der zweiten Mengenklammer.

Comments

Warum schreibst du mal wieder all das, was der FS bereits selbst hinbekommen hat und gehst nicht auf die gestellte Frage ein?

Leitet man nach z ab, erhält man F_z(x,y,z) = x-3z als partielle Ableitung von F nach der Variablen z.

Und das hat der FS sogar besser hinbekommen als du.

Zu dem Teil, der Probleme bereitet, schweigst du dich natürlich wieder aus. Hilfreich ist das also nicht.

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Hatte einen kleinen Fehler gemacht, ist jetzt korrigiert. Übrigens habe ich jetzt zum zweiten Teil etwas dazugeschrieben.

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Tut mir Leid, aber ich verstehe nicht ganz, ist meine Lösung jetzt falsch oder richtig? Bzw was genau ist jetzt mein Fehler? Nach meinen Notizen ist die Formel für die implizite Ableitung nach z gleich dem, was ich oben bereits geschrieben habe. Und da würde ja z herauskommen. Also ist jetzt F'(x,y) = z?

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Du hattest den ersten Teil hauptsächlich richtig. Nur warst du denke ich mal am Ende bischen mit der Folgerung verwirrt. Deswegen habe ich es nochmal kompakt zusammengefasst für dich. Aber dein Grundgedanke stimmte, wie man es sieht :)

Wenn du etwas nicht verstanden hast, kannst du gerne nachfragen. Das könnte vielleicht auch bischen zu schnell sein. Das Thema ist gewöhnungsbedürftig…

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Heisst das also, das meine Formel die ich oben benutzt habe falsch ist?

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Die Formel, die du hast, ist mir nicht bekannt…

Du hast die partiellen Ableitungen von F, also nach x ist es F_x(x,y,z) = z, nach y ist es F_y(x,y,z) = -1 und nach z ist es F_z(x,y,z) = x+3z^2.

Du suchst aber jetzt die Ableitung von der Funktion z mit z(x,y) in dem Punkt (1,0)^T.

Allgemein: Für die partielle Ableitung von der Funktion z : |R^2 —> |R nach der Variablen x in einem Punkt (a,b)^T lautet die Formel

z_x (a,b)

= - (F_z (a, b ,z(a,b))^(-1) F_x(a,b, z(a,b))

In deinem Falle war (a,b) = (1,0) & z(1,0) = -1, da ja (1,0,-1)^T eine Lösung der Gleichung ist und damit gilt

z_x (1,0)

= - (F_z (1, 0, z(1,0))^(-1) F_x(1, 0, z(1,0))

=  - (F_z (1, 0, -1)^(-1) F_x(1, 0, -1)

= …

Für die partielle Ableitung nach y ist das ganze analog, nur das du da als zweiten Faktor bei der Formel eben die partielle Ableitung von F nach y an der Stelle nimmst.

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@Txman: deine Ableitung nach z ist immer noch falsch ...

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Die Formel habe ich so von den Videos die ich mir zum Thema angesehen habe und von meinen Notizen aus der VO entnommen. Da war immer die rede von -(ableitung_x/ableitung_y) (sinngemäß). Was meinst du genau mit z_x?

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Mit z_x meine ich die partielle Ableitung von der Funktion z nach x. Die Funktion z ist ja eine Funktion von den anderen Variablen x,y. Also Schreibweise z(x,y). D.h. du musst hier einmal partiell nach x und dann nach y ableiten, so wie du es bei Funktionen mit zwei Variablen kennst.

Edit: Habe mich oben verrechnet, da ich das Quadrat bei der partiellen Anleitung von F nach z vergessen habe. Ist jetzt korrigiert.

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Für die partielle Ableitung von z nach der ersten Variablen x in einem Punkt (a,b)^T ist die Formel

z_x (a,b)

= [F_z(a,b, z(a,b))]^(-1) F_x(a,b, z(a,b))

und nach y ist es

z_y(a,b)

= [F_z(a,b, z(a,b))]^(-1) F_y(a,b, z(a,b))

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Sorry ich verstehe die Formel einfach nicht. Aus Wikipedia z.B. habe ich auch folgende Formel: f'(x) = -(F_x(x, f(x)) / F_y(x, f(x))). Wieso muss ich bei diesem Beispiel jetzt doch F_x / F_z machen?

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@Nazza11 Versuch mal so zu gucken. Handschriftlich ist glaube ich besser als hier zu texten. Habe das auch oben dazugefügt und das alte mit dem unklaren Text gelöscht :)

Ich glaube so meintest du das auch oder?

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Ohne die Formel wärst Du längst fertig, s.u.

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Die Formel ist offensichtlich weder für Dich noch für den FS einfacher. Vergleiche einfach die Länge der Rechnungen.

Auch in Deiner handschriftlichen Rechnung ist wieder ein Fehler. Du verbreitest erneut Verwirrung.

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@nudger Die Formel kann man allgemein immer nutzen und sie ist auch sehr praktisch. Der FS hat auch denke mal die gemeint, nur ist es eben blöd das ganze hier mit Tastatur Text zu schreiben, wodurch ich mich jetzt entschieden habe, es lieber handschriftlich zu posten.

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Wenn die so praktisch ist, warum redest Du dann hier wieder ewig herum und verrechnest Dich dauernd dabei, und verwirrst erneut mit ständigen Änderungen?

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@Txman also das Handschriftliche macht es schonmal viel verständlicher, dass ich weiß was du meinst vielen Dank dafür erstmal. Ich muss bei der Aufgabe also die Ableitung von z(x,y) finden. Ich weiß aber auch nicht was z(x,y) ist deshalb muss ich die Ableitung mit der Formel [F_z(a,b, z(a,b))]^(-1) F_x(a,b, z(a,b)) für x und analog für y berechnen. Bei beiden kommt ein Wert heraus also hier z.B. 1/4. Müsste aber für eine korrekte Antwort nicht 1 Wert herauskommen? Ich hab ja dann nur die zwei partiellen Ableitung z_x und z_y?

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Am Ende kommt tatsächlich bei beidem dasselbe raus (Passiert schon häufiger). Hier das ganze nochmal vollständig mit der Ableitung nach y dazu:

Bitte nicht mehr spamen. Der FS wird damit nur verwirrt.

Edit: Hier fehlt bei der Menge U oben das ,,= 0’‘ am Ende

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Achso also hierbei kommt nicht 1 Wert heraus verstehe. Ich denke meine Verwirrung kommt daher, das ich mir zur Hilfe fast ausschließlich Beispiele mit nur x und y (also ohne z) angesehen habe, könnte das sein?

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Ich habe mich nicht verrechnet. Nur am Anfang.

Ein Widerspruch in sich. Das reicht ja schon. Ich denke nicht, dass andere Kommentare für Verwirrung sorgen. Eher deine Ausführungen. Siehe auch die Bemerkungen von nudger.

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@Nazza11

Ja, das könnte das Problem gewesen sein und das ganze kann schon echt verwirren. Die Formel und Berechnung ist aber leichter als sie aussieht. Muss man eben paar mal mit Beispielen üben ;)

Aber dann hast du es ja schon auch deauf, da du ja dasselbe anscheinend hattest :)

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Text erkannt:

Nun setzen wir \( x_{0}=1, y_{0}=0 \) und \( z_{0}=-1 \) in die Ableitungen ein:
- \( F_{x}(1,0,-1)=z_{0}=-1 \)
- \( F_{y}(1,0,-1)=-1 \)
- \( F_{z}(1,0,-1)=x_{0}+3(-1)^{2}=1+3=4 \)

Schritt 3: Berechnung der Ableitungen \( \frac{\partial z}{\partial x} \) und \( \frac{\partial z}{\partial y} \)
- Für \( \frac{\partial z}{\partial x} \) gilt:
\( \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4} \)
- Für \( \frac{\partial z}{\partial y} \) gilt:
\( \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4} \)

Kann man das so auch gelten lassen oder ist diese Erklären falsch bzw zu einfach gestaltet?

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Ja, das ist absolut richtig und schön kompakt verfasst :)

Vielleicht am Ende dann noch wie ich, den Gradienten (1/4,1/4) noch dazuschreiben, als insgesamte Ableitung von z in diesem Punkt. Aber das ist nicht unbedingt Pflicht.

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Perfekt dann hab ich jetzt alles verstanden, danke für die Handschriftliche Fassung, die hat mir sehr geholfen und danke für die Zeit die du dir genommen hast :)

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Gerne! Es freut mich, das du es verstanden hast! :)

Answer 2

Erstmal gilt \(g:\R^2\rightarrow \R\), die gesuchte Ableitung besteht also aus einem Vektor aus \(\R^2\), nämlich dem der partiellen Ableitungen. Und zwar, da es um eine konkrete Stelle geht, aus einem konkreten Vektor, also nur aus zwei Zahlen.

Merkwürdig ist in der Aufgabe, dass es bei der Ableitung um die Stelle (x,y)=(0,1) geht, aber das passt nicht zum ersten Teil, wo es darum geht, dass g an einer Umgebung von (1,0) definiert ist. Nehmen wir also lieber mal (x,y)=(1,0).

Für die Ableitungen von g schreibe ich nun \(z_x\) bzw. \(z_y\). Leiten wir mal damit die Gleichung ab, so erhalten wir

nach \(x\):    \(z+xz_x+3z^2z_x=0\), also \(z_x=\frac{-z}{3z^2+x}\), also mit \((x,y,z)=(1,0,-1)\): \(z_x=\frac14\).

nach \(y\):   \(xz_y-1+3z^2z_y=0\), also \(z_y=\frac1{3z^2+x}\), also mit \((x,y,z)=(1,0,-1)\): \(z_y=\frac14\).

Das Ableiten der Gleichungen sorgt auch dafür, dass man keine Formeln kennen muss und besser versteht, was hier passiert.

Comments

Das Beispiel kam so in der Altklausur vor, welche unser Prof uns zur verfügung gestellt hat. Ich denke mal nicht das es mir etwas bringt, wenn ich die Aufgabe ändere?

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So macht es aber mathematisch keinen Sinn. Ich nehme an, das ist ein Tippfehler.