Erstmal gilt g : R2→R, die gesuchte Ableitung besteht also aus einem Vektor aus R2, nämlich dem der partiellen Ableitungen. Und zwar, da es um eine konkrete Stelle geht, aus einem konkreten Vektor, also nur aus zwei Zahlen.
Merkwürdig ist in der Aufgabe, dass es bei der Ableitung um die Stelle (x,y)=(0,1) geht, aber das passt nicht zum ersten Teil, wo es darum geht, dass g an einer Umgebung von (1,0) definiert ist. Nehmen wir also lieber mal (x,y)=(1,0).
Für die Ableitungen von g schreibe ich nun zx bzw. zy. Leiten wir mal damit die Gleichung ab, so erhalten wir
nach x: z+xzx+3z2zx=0, also zx=3z2+x−z, also mit (x,y,z)=(1,0,−1): zx=41.
nach y: xzy−1+3z2zy=0, also zy=3z2+x1, also mit (x,y,z)=(1,0,−1): zy=41.
Das Ableiten der Gleichungen sorgt auch dafür, dass man keine Formeln kennen muss und besser versteht, was hier passiert.