Deute die Koeffizientenmatrix im letzten Umformungsschritt

Question

Aufgabe:

Deute die Koeffizientenmatrix im letzen Umformungsschritt von

x + 2y = 0

x + y + ? = 0

2x + 3y + ? = 0

Problem/Ansatz:

Hallo ich versuche grad einem Freund zu helfen, verstehe aber nicht so ganz was die Aufgabe von mir erwartet.
Was eine (Koeffizienten-) Matrix ist weiss ich.
Soll ich logisch überdenken was der nächste Schritt wäre um die Matrix zu lösen und wenn ja wie?

Answer 1

Hallo.

Allgemein darfst du folgende elementaren Umformungen bei jeder Matrix machen:

1) Zeilen skalieren, d.h. eine Zeile i mit einer Zahl c ∈ |R \ {0} multiplizieren

2) Zeilen tauschen

3) Zeilen aufeinander addieren. Du darfst also die c-fache i-te Zeile auf eine j-te Zeile addieren und erhälts dann bei der ursprünglichen j-ten Zeile die (c*i+j)-te Zeile mit c ≠ 0.

Das gilt natürlich auch für die Koeffizientenmatrix (A | b) eines linearen Gleichungssystems Ax = b, wobei A hier die (n x n)-Matrix mit den Koeffizienten der Unbekannten als Einträge und b der konstante Vektor ist. Bei einem Gleichungssystem versuchst du die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform zu bringen, d.h. das du unter/ober der Hauptdiagonalen nur Nulleinträge hast und damit die Lösung dann ablesen kannst.

In deinem Beispiel wäre z.B. der erste Schritt nachdem du das lineare Gleichungssyten in die Koeffizientenmatrix geschrieben hast, die erste Zeile mit -1 zu multiplizieren und dann auf die zweite Zeile zu addieren. Bemerke noch, das du ein homogenes lineares Gleichungssystem Ax = 0 hast, d.h. dieses kann entweder nur die eindeutige Lösung x = 0 oder unendlich Lösungen haben. Das LGS hat die eindeutige Nulllösung falls die Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform keine Nullzeile hat.

Answer 2

Du sollst vermutlich das LGS lösen. Das wäre zumindest die Deutung des letzten Schritts. Nutzt man Gauß-Jordan, so lässt sich die Lösung dort nämlich ablesen.

Hier gilt jedoch Zeile I + Zeile II = Zeile III. Was folgt daraus für die Lösung des LGS?

Answer 3

Nutze ich das Gaussverfahren, komme ich im letzten Schritt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix von

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Durch die Nullzeile kann man sehen, dass das LGS unendlich viele Lösungen besitzt. Die Lösungen kann man mit

x = - 2z und y = z mit z ∈ R ablesen.