Hallo.
Hier ist eine einfache Methode die Konvergenz der Reihe Σ (n ∈ |N) 1/n^2 zu zeigen.
Beweis.Zeige erstmal mit Induktion nach n ∈ |N,
Σ (k = 1,…,n) 1 / (k^2 + k) = 1 - 1/(n+1) für jedes n ∈ |N. Das sollte klar sein.
Daraus folgt dann nämlich Σ (n ∈ |N) 1 /(n^2 + n) = lim (n —> inf) Σ (k = 1,…,n) 1 / (k^2 + k)
= lim (n—> inf) (1 - 1/(n+1)) = 1.
Wenn du das hast, so kannst du die Konvergenz der Reihe Σ (n ∈ |N) 1/n^2 mit einer Abschätzung nach oben gut zeigen. Es gilt nämlich:
1 = Σ (n ∈ |N) 1 /(n^2 + n)
> Σ (n ∈ |N) 1 /(n^2 + n^2)
= (1/2) Σ (n ∈ |N) 1/n^2
=> Σ (n ∈ |N) 1/n^2 < 2 < inf. QED
Das war eine einfache Methode die Konvergenz zu zeigen. Es gibt aber auch mehrere Beweise dafür. Übrigens gilt bekanntlich für diese harmonische Reihe Σ (n ∈ |N) 1/n^2 = π^2 / 6.
