Dedekindscher Schnitt (A,B): welche ist äquivalente zur "A hat kein Supremum"

Question

Aufgabe: Dedekindscher Schnitt (A,B): äquivalente Definition für "A hat kein Supremum"

Problem/Ansatz:

Ich lese ein kleines Buch über die Konstruktion reeller Zahlen. Bei der Definition eines Dedekindschen Schnitts (Paar (A,B)) in einer linearen Ordnung (M, <) sind die ersten zwei Bedingungen ähnlich wie in anderen Büchern:

(1)A und B sind nicht-leere Teilmengen von M, $$A \cup B = M$$,$$A \cap B = \emptyset$$
(2)$$\forall a \in A, \forall b \in B: a < b$$


Die dritte Bedingung lautet jedoch:
$$(3-1) \sup(A) \in A, \text{ falls } \sup(A) \text{ existiert}$$
Ist hier ein Tippfehler? In allen anderen Büchern ist die dritte Bedingung entweder:
$$(4) \text{A hat kein Supremum}$$
oder
$$(5) \text{B hat kein Minimum}$$
Meiner Meinung nach sollte die dritte Bedingung lauten:
$$(3-2) \sup(A) \notin A, \text{ falls } \sup(A) \text{ existiert}$$

und (3-2),(5),(6) sollen äquivalent sein.

Comments

Ich habe ein bisschen recherchiert.5) und (6) sind zwei Arten von Definitionen(one-sided Dedekindscher Schnitt), siehe https://math.stackexchange.com/questions/4951748/why-do-dedekind-cut… und https://ncatlab.org/nlab/show/Dedekind+cut#onesided_cuts