Aufgabe: Dedekindscher Schnitt (A,B): äquivalente Definition für "A hat kein Supremum"
Problem/Ansatz:
Ich lese ein kleines Buch über die Konstruktion reeller Zahlen. Bei der Definition eines Dedekindschen Schnitts (Paar (A,B)) in einer linearen Ordnung (M, <) sind die ersten zwei Bedingungen ähnlich wie in anderen Büchern:
(1)A und B sind nicht-leere Teilmengen von M, $$A \cup B = M$$,$$A \cap B = \emptyset$$
(2)$$\forall a \in A, \forall b \in B: a < b$$
Die dritte Bedingung lautet jedoch:
$$(3-1) \sup(A) \in A, \text{ falls } \sup(A) \text{ existiert}$$
Ist hier ein Tippfehler? In allen anderen Büchern ist die dritte Bedingung entweder:
$$(4) \text{A hat kein Supremum}$$
oder
$$(5) \text{B hat kein Minimum}$$
Meiner Meinung nach sollte die dritte Bedingung lauten:
$$(3-2) \sup(A) \notin A, \text{ falls } \sup(A) \text{ existiert}$$
und (3-2),(5),(6) sollen äquivalent sein.
