Aufgabe:
Nr.4 a)
Problem/Ansatz:
Ist das so richtig gelöst von mir? 
Text erkannt:
4. Aufgabe
(11 Punkte)
Gegeben sei das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( F(x, y)=\left[\begin{array}{c} y^{2}-x^{2} \\ 2 x y \end{array}\right] \)
sowie die Kurve \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( \gamma(t)=\left[\begin{array}{c} (1-t) \mathrm{e} \\ \mathrm{e}^{\cos (\pi t)}+t \end{array}\right], \quad t \in[0,1] \)
(a) Bestimmen Sie Anfangs- und Endpunkt von \( \gamma \). Ist \( \gamma \) eine geschlossene Kurve?
Text erkannt:
Nr. 4
a) gegeben: vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) \( F(x, y)=\left[\begin{array}{l}y^{2}-x^{2} \\ 2 x y\end{array}\right] \quad \) und die kurve \( Y \)
\( \frac{\underline{k u r v e} Y}{Y:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}} \quad \text { mit } \quad Y(t)=\left[\begin{array}{l} (1-t) e \\ e^{\cos (\pi t)}+t \end{array}\right] \)
gesucht:
Anfangs-und Endpunkt von \( Y \).
lst \( y \) eine geschlossene kurve 2 Losung:
1) anfangs - und Endpunkte destimmen: da \( t \in[0,1] \) gegeben,
Anfangspunkt bei \( t=0 \)
\( r(0)=\left[\begin{array}{l} (1-0) e \\ e^{\cos (\pi \cdot 0)}+0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} e \\ e \end{array}\right] \)
Endpunkt bei \( t=1 \)
\( r(1)=\left[\begin{array}{l} (1-1) e \\ e^{\cos (\pi \cdot 1)} \\ e^{-1}=\frac{1}{e} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{e}+1 \end{array}\right] \)
ist \( r \) eine geschlossene kurve? Kurve ist geschlossen, wenn Anfanfgopunkt und Endpunk identisch sind, also r(0) \( =\gamma(1) \) vergleiche \( \gamma(0)=\left[\begin{array}{l}e \\ e\end{array}\right] \) und \( \gamma(1)=\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{e}+1\end{array}\right] \).
- \( D a \quad r(0) \neq \gamma(1) \), ist die kurve nicht geschlossen.
