Ist \phi(ℝ^{2})=: U eine Untermannigfaltigkeit?

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob für die Abbildung
\( \phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(s, t) \mapsto\left(\begin{array}{c} e^{t} \cos s \\ e^{t} \sin s \\ t \end{array}\right) \),
\( \phi\left(\mathbb{R}^{2}\right)=: U \) eine Untermannigfaltigkeit ist?

Problem/Ansatz:

Ich habe überlegt die Umfg. mit der folgenden Äquivalenz zu zeigen:

\(M\) ist Untermannigfaltigkeit \(\Leftrightarrow\) \(\forall a\in M \exists U\) Umgebung von  \(a, \: f:U\to \mathbb{R}^{n-k}\) stetig diff'bar und submersiv und es gilt: \( M\cap U=\{x\in U|f(x)=0\}\) 

Nur ich bin bis jetzt noch nicht bei der Wahl einer Submersion \(f\) weitergekommen. Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank!

Comments

Geht

x^2+y^2-exp(2z)

?

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JA, vielen Dank!

Das funktioniert.

Wie kommt man darauf? Einfach versuch logisch zu überlegen, bei welcher Funktion das Urbild genau der Menge U entspricht?
Hat man das vielleicht auch relativ einfach gesehen bzw. konnte sich herleiten, da ja es ja die Gleichheit \(cos(x)^2+sin(x)^2\) gibt?

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Genau. Einmal ist von der letzten Zeile klar, dass z=t sein muss. Dann ist diese trigonometrische Gleichung immer einen Versuch wert.

Außerdem kann man sich die Fläche auch vorstellen. Man läuft mit dem Parameter t die z- Achse entlang. Bei einem festen t bilden die x,y Komponenten einen Kreis in Polarkoordinaten mit Radius e^t. Insgesamt also so etwas wie ein Trichter.

Answer 1

Hallo.

Um zu zeigen, das U := φ(|R^2) eine Untermannigfaltigkeit des |R^3 ist, geht man folgenderweise vor.

Man setzt die Funktionale F : |R^3 —> |R als

F(x,y,z) := x^2 + y^2 - e^(2z)

Dann gilt

F^(-1)({0}) = {(x,y,z) : x^2 + y^2 = e^(2z)}.

Hierbei ist U die Menge aller Punkte (x,y,z) in |R^3 mit x = e^t cos(s), y = e^t sin(s) und z = t. Dann gilt

x^2 + y^2 = (e^t cos(s))^2 + (e^t sin(s))^2

= e^(2t) = e^(2z), da sin^2(s) + cos^2(s) = 1 gilt. Also zeigt das, das U eine Teilmenge von F^(-1)({0}) ist, da alle Punkte (x,y,z) in U mit x = e^t cos(s), y = e^t sin(s) und z = t, die Bedingung

x^2 + y^2 = e^(2z) von F^(-1)({0}) erfüllen. Die Inklusion das F^(-1)({0}) eine Teilmenge von U ist klar (Parametrisierung).

Es gilt also U = F^(-1)({0}).

Nun ist der Gradient von F gegeben als der Vektor (2x, 2y, -2e^(2z))^T . Dieser kann niemals verschwinden, da e^(2z) ≠ 0 ist für jedes z in |R. Also ist jeder Punkt (x,y,z) in U regulär und 0 ein regulärer Wert. Nach dem Satz des regulären Werts folgt die gewünschte Eigenschaft für U.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort bzgl. meiner Frage!

x2 + y2 = e^(2z) von F^(-1)({0}) erfüllen. Die Inklusion das F^(-1)({0}) eine Teilmenge von U ist klar (Parametrisierung).

Wie genau ist das mit Parametrisierung klar?

Wie bist du auf die Funktionsvorschrift für F gekommen?

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Allgemein:

Bei einem Punkt (x,y) im |R^2 kannst du die Variablen schreiben als

x = r * cos(θ) und y = r * sin(θ), wobei r > 0 und θ in |R den Winkel darstellt. (Stichwort: Polarkoordinaten)

Nun die Aufgabe:

Hier setzt du also z := t als den Parameter und r := e^t > 0, dann gibt es ein s in |R, sodass

(x,y) = (e^t cos(s), e^t sin(s))^T gilt. Also dann (x,y,z) = (e^t cos(s), e^t sin(s), t)^T.

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Die Funktion F ist so gewählt, sodass die Menge {(x,y,z)^T : x^2 + y^2 = e^(2z)} die Urbildmenge von F zum Wert 0 ist. Das ist ein typischer Schritt, den man macht um den Satz des regulären Werts anzuwenden.

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Vielen Dank für die Erklärung! Das ergibt definitiv Sinn, nur ich kann diesen Ansatz doch noch nicht wirklich "anwenden".

Wie würde die Submersion dann bei dieser Funktion aussehen:

\( \psi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(s, t) \mapsto\left(\begin{array}{c}e^{t} \cos s \\ e^{t} \sin (2 s) \\ t\end{array}\right) ?\)

Oder geht dieser Ansatz bei dieser Funktion nicht? Könnte man dann Rückschlüsse ziehen, dass die Menge, die durch die Funktion gegeben ist, gar keine Untermannigfaltigkeit bildet?

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Kurze Rückfrage zu deinem Ansatz:

wie kommt man von (x,y,z) = \((e^t cos(s), e^t sin(s), t)^T\) zu der Menge \(\{(x,y,z)^T:x^2+y^2=e^{2z}\}\)?

Hast du für \(x=e^t cos(s)\) und \(y=e^t sin(s)\) das: \(x^2+y^2\) umgeschrieben und dann \(e^{2z}\) rausbekommen?

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Ja genau so kommt man deauf. Man muss einfach immer bischen ausprobieren ;)

Danke übrigens für den Stern!