Hallo.
Um zu zeigen, das U := φ(|R2) eine Untermannigfaltigkeit des |R3 ist, geht man folgenderweise vor.
Man setzt die Funktionale F : |R3 —> |R als
F(x,y,z) := x2 + y2 - e^(2z)
Dann gilt
F^(-1)({0}) = {(x,y,z) : x2 + y2 = e^(2z)}.
Hierbei ist U die Menge aller Punkte (x,y,z) in |R3 mit x = et cos(s), y = et sin(s) und z = t. Dann gilt
x2 + y2 = (et cos(s))2 + (et sin(s))2
= e^(2t) = e^(2z), da sin2(s) + cos2(s) = 1 gilt. Also zeigt das, das U eine Teilmenge von F^(-1)({0}) ist, da alle Punkte (x,y,z) in U mit x = et cos(s), y = et sin(s) und z = t, die Bedingung
x2 + y2 = e^(2z) von F^(-1)({0}) erfüllen. Die Inklusion das F^(-1)({0}) eine Teilmenge von U ist klar (Parametrisierung).
Es gilt also U = F^(-1)({0}).
Nun ist der Gradient von F gegeben als der Vektor (2x, 2y, -2e^(2z))T . Dieser kann niemals verschwinden, da e^(2z) ≠ 0 ist für jedes z in |R. Also ist jeder Punkt (x,y,z) in U regulär und 0 ein regulärer Wert. Nach dem Satz des regulären Werts folgt die gewünschte Eigenschaft für U.