Summenformel (Carl-Friedrich Gauß) induktiv beweisen

Question

Aufgabe: Summenformel induktiv berechnen. 1 + 2+...+ n = n * (n + 1) \ 2

Problem/Ansatz: Bis n * (n + 1) + 2 * (n + 1) / 2 verstehe ich, aber den Schritt zu (n + 1) * (n + 2) / 2 kommt bei mir nicht ganz im Kopf an. Könnte mir bitte jemand den zwischen Schritt dazu erklären?

Comments

Voraussetzung: Es gibt eine Zahl n, sodass gilt: 1 + 2+...+ n = n · (n + 1) \ 2

Behauptung: Dann gilt auch 1 + 2+...+ n + (n+1)= (n+1)·(n + 2) \ 2.

Addiere auf beiden Seiten der Voraussetzung (n+1) und forme die rechte Seite der Gleichung um (vorwärts und rückwärts rechnen).

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n * (n + 1) + 2 * (n + 1) / 2

Hier fehlen Klammern. Besser mit LaTeX:

$$ \frac{\green{n}\red{(n+1)}\green{ + 2}\red{(n+1)}}{2} $$

Jetzt siehst du, dass (n+1) ausgeklammert werden kann.

$$ \frac{\green{(n+2)}\red{ (n+ 1)}}{2} $$

:-)

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Hallo MontyPython, genau bei diesem Schritt fehlt mir wohl noch eine Mathe Wissenslücke. Ich bringe mir aktuell wegen meines Studiums einiges an Mathe selbst bei und finde zu diesem Schritt nichts. Ich erkenne da leider noch nicht, warum (n + 1) ausgeklammert werden kann. Wie heißt denn das Anwendungsgesetz dazu? Dann kann ich mir dazu etwas anschauen. :-)

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An der Frage des FS vorbei einen "Ansatz" angeschrieben, der wie eine Lösung aussieht, aber noch einen Druckfehler eingebaut.

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Wie heißt denn das Anwendungsgesetz dazu?

Distributivgesetz

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Das ist das Distributivgesetz.

Mit Zahlen:

3•4+2•4=(3+2)•4

bzw.

3•(3+1)+2•(3+1)=(3+2)•(3+1)

Nun n statt 3 schreiben...

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Alles klar. Vielen lieben Dank euch beiden. :-)

Answer 1

(n+1) ausklammern und zusammenfassen

Comments

Man muss hier mittlerweile einfach anerkennen, wenn auf die konkret gestellten Fragen eingegangen wird! +1

Der Großteil ignoriert das ja leider.

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Danke. Mir ist auch nicht klar, was diese anderen Antworten bezwecken. Warum respektiert man das Anliegen des FS nicht?

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Selbstdarstellung. Immer noch. Einen anderen Zweck sehe ich da tatsächlich nicht. Genauso wie MC, der ständig alles wiederholt und lediglich seine Musterlösung ergänzt. Aber wenn man solche Antworten meldet, weil an sich kein Bezug zur Frage ersichtlich ist, wird man ja auch nur dumm angemacht.

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Die Regel lautet ba+ca=(b+c)a. Wende das im Zähler an.

Wiederhole diese Regeln, bevor du weiter im Thema Induktion voran gehst.

Answer 2

Hallo.

Diese Gleichheit nennt sich die ,,Gausssche Summenformel‘‘ und ist im Allgemeinen sehr hinreichend.

Vorab gilt ertsmal (n+1)(n+2) = n^2 + 3n+2 für alle n ∈ |N, nach der dritten binomischen Formel.

Dann schreiben wir noch mithilfe der allgemeinen Distributivität n(n+1) = n^2 + n.

Der Beweis. (Vollständige Induktion nach n)

I) Für n = 1 gilt die Behauptung, da für n = 1 gilt: 1+…+n = 1 = 2/2 = (1^2 + 1)/2. Das war der Induktionsanfang.

II) Sei n ∈ |N und nach Induktionsannahme gelte die Aussage für dieses n, d.h. es gelte nach Annahme 1+2+…+n = (n^2 + n)/2. Dann folgt:

1+2+…+(n+1) = 1+2+…+n+(n+1)

= (n^2 + n)/2 + (n+1) = (n^2 + n)/2 + (2n+2)/2

= (n^2 + n+2n+2)/2 = (n^2 + 3n+2)/2

= (n+1)(n+2)/2 = (n+1)(n+1+1)/2.

Wir zeigten die Gleichheit für den Nachfolger n+1 mithilfe unserer Induktionsannahme & damit ist auch der Induktionsschritt abgeschlossen.

Damit haben wir die Gausssche Summenformel bewiesen.

Comments

Es spricht nichts dagegen mal eine Antwort als Kommentar umzuwandeln, weil man bemerkt hat, dass man die Frage nicht beantwortet hat oder aus anderen Gründen. Jetzt aber anzufangen alle Antworten, die bemängelt werden, zu "löschen" und dann mit einer neuen Antwort (kommentarlos!) aufzuwarten ist absolut nicht ok. Wenn Du das nicht einstellst, werden Dir die entsprechenden Rechte entzogen!

Die Antwort hattest Du doch korrigiert. Das ist die richtige Vorgehensweise!

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Ich habe jetzt aus den Kommentaren der Frage ein paar Beiträge ausgeblendet, die dort jetzt aus dem Zusammenhang fehl am Platz sind.

Besser ist es, die eigene Antwort zu korrigieren. Dann können die Moderatoren auch die Kommentare, die auf den Fehler hinweisen ausblenden.

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Spätestens beim Neuschreiben hätte auch auffallen können, dass diese Antwort gar nicht gefragt war.

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Das fiel ja auch vorher schon nicht auf, weil Fragen häufig ja nicht gelesen werden, sondern nur die Überschrift.

Dann können die Moderatoren auch die Kommentare, die auf den Fehler hinweisen ausblenden.

Halte ich nicht für notwendig, da man auch aus den Fehlern oder Schlampereien anderer einiges lernen kann: nämlich, wie man es nicht machen sollte. Des Weiteren kann man die einzelnen Anpassungen der Antwort ja aufrufen und sehen, was vorher falsch gemacht wurde, so dass auch solche Kommentare nach wie vor nachvollziehbar bleiben.

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Ich fühle mich gezwungen wieder diesen Beitrag zu löschen und neu zu schreiben, weil ihr es einfach nicht lassen könnt!

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Wenn Du Dich dazu gezwungen fühlst, fühle ich mich dazu gezwungen Deinen Account zu sperren.

Das ist hier keine Spielewiese wo Du machen kannst was Du willst!

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Ich denke das wäre ein Verlust für euch, nicht für mich. Ich mache das ganze sowieso hier freiwillig.

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Ich will Dich jetzt nicht überraschen. Aber das machen hier alle freiwillig.

Es wäre aber für mich kein Verlust, wenn ich meine Zeit anderweitig verwenden könnte, als nach Querschläger Ausschau zu halten...

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Ich habe als Lohn immerhin 1036 Sternchen und 626 Daumen hoch bekommen.

Ich denke das wäre ein Verlust für euch, nicht für mich.

Ach Txman, man muss auch mal lernen mit Verlusten umzugehen.

Aber du hast durchaus recht. Deine Antworten und die darauf folgenden Kommentare sind durchaus amüsant.

☺

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Wenn meine Antworten so unnötig wären, wie ihr es andeutet, wäre ich in diesen zwei Monaten nicht unter den TOP 4 der Monatsbesten gekommen ;)

(Ich habe übrigens auch erst vor zwei Monagen angefangen Helfer zu sein)

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Du verwechselst Quantität und Qualität

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Naja ich denke ich hätte nicht so viele Sterne bekommen, wenn ich da einfach irgendein Müll erzählt hätte. Du kannst dir ja mal leine Sternantworten anschauen und mir das dann nochmal sagen, das es nicht qualitativ ist…

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Naja, ziehen wir die Sternchen ab, die Du Dir selbst gegeben hast, sieht es recht mau aus mit Sternchen...

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Deine letzte Sternantwort musste ich korrigieren.

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Ich weiss nicht wovon du redest. Wenn es immernoch diese Tanja-Masche sein soll, bin ich echt sprachlos… Da habe kein Bock mich mehr zu rechtfertigen, da es einfach Unsinn ist.

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@Mathhilf Jeder macht mal Fehler. Auch du!

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Leider werden die besten Antworten in der Regel von Leuten vergeben, die Qualitätsunterschiede nicht erkennen können. Zudem werden beste Antworten eher für vollständige Lösungen als für wirklich sinnvolle Ansätze mit Nachhaltigkeit vergeben. Weiterhin gibt es Punkte für Antworten, die aus der Wiederholung anderer Antworten besteht. Betrachte bspw. Moliets, der zahlreiche uralte Fragen beantwortet, aber sonst nicht sonderlich viel für die aktuellen FS leistet. Die Punkte sagen lediglich etwas über die Aktivität aus, nicht jedoch etwas über die Qualität, die man abliefert. Wer im Nachhinein so gut wie jede Antwort nachbearbeiten muss, hat potentiell genauso viele Punkte wie jemand, der die gleiche Anzahl an Fragen beantwortet, aber von guter Qualität.

Ein weiteres Beispiel ist Tschakabumba, der bei wenigen Antworten deutlich mehr Punkte erzielt, weil er aufgrund seiner ausführlichen Musterlösungen häufig die beste Antwort bekommt. Wirklich nachhaltig und "pädagogisch sinnvoll" ist das allerdings eher nicht.

Fazit: Punkte sagen nicht viel aus und nichts über die Qualität der Beiträge.

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(Ich habe übrigens auch erst vor zwei Monagen angefangen Helfer zu sein)

Und seit zwei

Monagen

muss dir ständig hinterhergeräumt werden, weil deine Antworten mehrheitlich schlampig sind.

Ich sehe nicht, dass du nach den gehäuften Fehlgriffen in deinem ersten Monat irgendwas in puncto Sorgfalt und Selbstkontrolle dazugelernt hättest.