Steigungswinkel und Gefällwinkel bei lineare Funktionen

Question

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Berechnen des Steigungswinkels bei linearen Funktionen.

Wenn ich die Steigung m bei positiven Geraden berechnen möchte, dann verwende ich die Formel: α = tan^-1(m).

Wenn ich diese Formel bei negativen Geraden anwende, dann erhalte ich einen negativen Winkel. Ist der Betrag dieses Winkels der Gefällwinkel? Wenn ich diesen negativen Winkel zu 180° addiere, dann erhalte ich den Steigungswinkel, also

β = 180° + tan^-1(m), oder?

Beispiel:

Bei positiver Steigung

Ich habe die Funktion: f(x) = \( \frac{2}{3} \)x + 4

Steigungswinkel: α = tan^-1(m) —> α = tan^-1(\( \frac{2}{3} \) ) —> 33,69°

Gefällwinkel: β = 180 - tan^-1(m) —> β = 180 - tan^-1(\( \frac{2}{3} \) ) —> 146,31°

Bei negativer Steigung

Ich habe die Funktion: f(x) = \( \frac{-2}{3} \)x + 4

Gefällwinkel: α = tan^-1(m) —> α = tan^-1(\( \frac{-2}{3} \) ) —> -33,69° —> |33,69°|
Steigungswinkel: β = 180 + tan^-1(m) —> β = 180 + tan^-1(\( \frac{-2}{3} \) ) —> 146,31°

Ist das so richtig? Wenn das wahr ist, ist dann meine Zeichnung im Bild so korrekt?Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{2}{3} x+4 \)
\( g(x)=-\frac{2}{3} x+4 \)

Comments

Habt ihr eine Definition dazu aufgeschrieben?

Ich kenne aus Mathebüchern neben dem Steigungswinkel auch den Neigungswinkel. Den Begriff Gefällwinkel sagt mir so nichts und habe ich auch mit großer Sicherheit so noch nicht gelesen.

Und der Neigungswinkel war auch nicht als Nebenwinkel zum Steigungswinkel definiert.

Wenn Ihr eine Definition aufgeschrieben habt oder sogar im Buch, Skript etc. habt, dann würde ich mich über eine Info freuen.

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Nein, das war nur eine Überlegung von mir. Wenn man mit der Formel α = tan⁻^1(m) den Steigungswinkel bei positiver Steigung berechnet, dachte ich, dass man mit derselben Formel den „Gefällwinkel“ bei negativer Steigung herausbekommt. Ich möchte einen logischen und nachvollziehbaren Weg finden, weil in manchen Mathebüchern steht, dass man mit der Formel α = tan⁻^1(m) direkt die Steigung einer fallenden Geraden berechnet. Andere Quellen sagen jedoch, dass man das Ergebnis noch um 180° ergänzen muss. Ich bin momentan unsicher. Den Namen „Gefällwinkel“ habe ich einfach hingenommen, da bei einer positiven Steigung vom Steigungswinkel gesprochen wird und ich bei einem Gefälle, also negativer Steigung, an „Gefällwinkel“ dachte. Was ist eigentlich der negative Winkel, der bei einer fallenden Geraden mit α = tan⁻^1(m) herauskommt? Gibt es dafür einen mathematisch definierten Namen?

Hoffe du kannst mir weiterhelfen :/

Answer 1

Das kann man schon so machen und die Zeichnung passt auch. Der Steigungswinkel ist allerdings mathematisch definiert (wie in deiner Zeichnung) und von einem Gefällewinkel zu sprechen, ergibt auch nicht soviel viel Sinn. Lediglich in konkreten Anwendungsaufgaben kann eine solche Unterscheidung sinnvoll sein.

Wäre die Gerade eine Straße, wäre bei der negativen Steigung die Angabe des anderen Winkels durchaus sinnvoller.

Answer 2

Hoffe du kannst mir weiterhelfen :/

Ja. Ich kann dir weiterhelfen.

Die Gerade mit der Funktionsgleichung f(x) = 2/3·x + 4 hat eine Steigung von

m = 2/3 ≈ 0.6667 = 66.67%

und einen Steigungswinkel von

α = arctan(m) ≈ 33.69°

Die Gerade mit der Funktionsgleichung f(x) = - 2/3·x + 4 hat eine Steigung von

m = - 2/3 ≈ - 0.6667 = - 66.67%

Das negative Vorzeichen bedeutet hier einfach eine negative Steigung oder eine Neigung/Gefälle. Der Steigungswinkel beträgt hier

α = arctan(m) ≈ - 33.69°

Auch der negative Steigungswinkel deutet ein Gefälle/Neigung an. Hier spricht man jetzt auch von einem Neigungswinkel von 33.69°. Jetzt deutet der Begriff Neigungswinkel an, dass die Gerade sich nach rechts neigt.

Beispiel:

Ein Flugzeug befindet sich in einer Höhe von 840 m und einem Neigungswinkel von 4.8° im Landeanflug. Modelliere eine passende lineare Funktion.

Zur Kontrolle: f(x) = 840 - 0.08397·x

In welcher Entfernung über Grund befindet sich der Flughafen? Wie kann man diese Strecke mit der Funktion berechnen?

Zur Kontrolle: Nullstelle f(x) = 840 - 0.08397·x = 0 → x = 10004 m

Der Flughafen befindet sich in etwa 10 km Entfernung.

Comments

In welchem Abstand über Grund

Das ist sehr missverständlich, weil man damit in der Regel die Höhe meint. Der Flughafen befindet sich mit Sicherheit nicht in einer Höhe von 10 km. Besser: In welchem horizontalen Abstand ...

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Der Nebenwinkel wird in meinen Büchern nie benutzt. Das kann ich mir evtl vorstellen wenn du sagen sollst unter welchem Winkel wird die x-Achse geschnitten und du bekommst bei einer fallenden Geraden einen negativen winkel von -10° heraus. Nun würde man ja normalerweise als Schnittwinkel einfach den Betrag also den positiven Winkel von 10° angeben. Ich könnte mir hier nur Vorstellen das dann evtl. ein Winkel von 170° genommen wird um damit anzudeutet das die Gerade fällt. Aber meist wäre das in Aufgaben auch präzise angegeben, welchen Winkel du genau berechnen sollst.

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Das ist sehr missverständlich, weil man damit in der Regel die Höhe meint. Der Flughafen befindet sich mit Sicherheit nicht in einer Höhe von 10 km. Besser: In welchem horizontalen Abstand ...

Ja stimmt, dass ist missverständlich.

Geschwindigkeiten werden über Grund angegeben und meint damit die Geschwindigkeit gegenüber dem Boden.

Nehmen wir also mal den horizontalen Abstand.

Wobei man hier natürlich wissen sollte, dass der Boden auch nicht wirklich horizontal ist, weil er ja entsprechend der Erde gekrümmt ist.

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Kann ich also festhalten, dass eine Gerade mit negativer Steigung sowohl einen negativen als auch einen positiven Steigungswinkel aufweist? In diesem Fall beträgt der negative Steigungswinkel -33,69° und der positive Steigungswinkel 146,31°. Der Betrag von -33,69° wird als Neigungswinkel von 33,69° bezeichnet.

Eine Gerade mit positiver Steigung hat ebenfalls einen positiven und einen negativen Steigungswinkel. Hier beträgt der positive Steigungswinkel 33,69° und der negative Steigungswinkel -146,31°. Der Betrag von -146,31° entspricht dem Neigungswinkel von 146,31°.

Wo genau kann ich diese Winkel in meiner vorherigen Zeichnung finden?

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Bei Flugzeugen wird die Reichweite definiert als die Strecke über Grund, die es mit einer Tankfüllung zurücklegen kann.

Also mit Strecke über Grund meine ich hier das, was ich oben geschrieben habe und nicht die Höhe über Grund in der das Flugzeug fliegt.

Ich habe oben Abstand über Grund in Entfernung über Grund ersetzt, weil das etwas klarer ist.

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Kann ich also festhalten, dass eine Gerade mit negativer Steigung sowohl einen negativen als auch einen positiven Steigungswinkel aufweist? In diesem Fall beträgt der negative Steigungswinkel -33,69° und der positive Steigungswinkel 146,31°. Der Betrag von -33,69° wird als Neigungswinkel von 33,69° bezeichnet.

Ja genau.

Ein Steigungswinkel von -33.69° ist auch ein Neigungswinkel von 33.69° oder auch ein Steigungswinkel von 146.31°.

So steht es zwar nicht in meinen Mathebüchern, aber z.B. in der Mathebibel

https://www.mathebibel.de/steigungswinkel

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Vielen Dank!!!

War verdammt hilfreich :)

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Freut mich, wenn ich helfen konnte.

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Ich kann die Auswahl der besten Antwort leider nicht mehr ändern. Ich hoffe, der Admin kann das irgendwie für mich übernehmen und diese hier als beste markieren.

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Ich kann die Auswahl der besten Antwort leider nicht mehr ändern. Ich hoffe, der Admin kann das irgendwie für mich übernehmen und diese hier als beste markieren.

Das ist nicht so wichtig. Das ist nur für spätere Besucher evtl. hilfreich, damit sie gleich die Antwort finden, die am besten geholfen hat.

Aber das passiert immer wieder, dass Antworten eben zu früh als beste markiert werden, weil noch keine andere da ist.

Mach dir da keine Gedanken. Aber ich möchte nochwas klarstellen.

Eine Gerade mit positiver Steigung hat ebenfalls einen positiven und einen negativen Steigungswinkel. Hier beträgt der positive Steigungswinkel 33,69° und der negative Steigungswinkel -146,31°. Der Betrag von -146,31° entspricht dem Neigungswinkel von 146,31°.

Du berechnest hier keinen negativen Steigungswinkel. Der bleibt einfach positiv bei 33.69°. Nur ein negativer Steigungswinkel wird durch Addidition von 180° zu einem positiven Steigungswinkel gemacht. Und wie bereits gesagt lassen die meisten Mathebücher hier auch den negativen Steigungswinkel einfach stehen.

Und auch vom Neigungswinkel spricht man eigentlich nur wenn die Gerade nach rechts geneigt ist, also fällt.

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Alles klar! Nochmals danke