Funktion Änderungsrate berechnen?

Question

Aufgabe:

Wenn man von einer Funktion 3. oder 4. Grades das stärkste Wachstum berechnen muss, muss man dann immer den Wendepunkt berechnen, und die x Koordinate des Wendepunkts ist dann das stärkste Wachstum der Funktion ist das so korrekt?

Und was ist wenn die Funktion keinen Wendepunkt hat?

Comments

Wenn die Funktion nur auf einem Intervall definiert ist, dann kann es auch ein Randmaximum geben.

Und im Sachkontext ist die Funktion oft nicht auf ganz R definiert.

Answer 1

Hallo.

Wenn du die lokalen Extremstellen einer Funktion f berechnest, bestimmst du ja erstmal die x, wo die Funktion lokal extremal (maximal / minimal) wird. Wenn es aber um das Extremum (Maximum / Minimum) geht, so setzt du die gefundene Extremstelle x in die Funktion ein und f(x) ist dann das gesuchte Extremum.

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Jetzt zu deiner Frage:

Die Wendestellen einer Funktion, sind die Extremstellen ihrer ersten Ableitung. D.h. wenn f die Funktion ist, so sind die Wendestellen von f, die Extremstellem der ersten Ableitung f’. (Die erste Ableitung gibt ja die Änderungsrate von f an und um die stärkste / schwächste Änderungsrate zu bestimmen, brauchst du also das Extremum (Maximum / Minimum) der ersten Ableitung)

Wenn du die Wendestellen berechnet hast, setzt du sie also in die erste Ableitung f’ ein, um die extremale Änderungsrate von f zu bestimmen

Answer 2

Die stärkste Steigung ist der zugehörige y-Wert der ersten Ableitung an der Wendestelle und kann auch über das Maximum der Ableitungsfunktion bestimmt werden. Ggf. sind Randwerte zu berücksichtigen. Wenn kein Wendepunkt existiert, kann die Steigung unendlich groß oder klein werden.

Comments

kann auch über das Maximum der Ableitungsfunktion bestimmt werden

Also erste Ableitung bilden, Hochpunkt berechnen und die Y-Koordinate ist die stärkste Zunahme?

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Mit der stärksten Zunahme ist nicht der Hochpunkt (x,y) gemeint, sondern der y-Wert des Hochpunktes. Du berechnest also zuerst die Wendestellen x der Funktion und setzt diese in die erste Ableitung ein, um den gesuchten y-Wert zu berechnen, welcher dann die stärkste Zunahme ist. Siehe unten warum.

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Auch nicht richtig.

Es geht um das Maximum der ersten Ableitung. Dafür brauchst du dann die zweite Ableitung (erste Aböeitung der ersten Ableitung).

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Das habe ich doch gesagt.

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@txman Kurz gesagt, einfach den Wendepunkt der Funktion F bestimmen?

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Nein, du brauchst hier nur die Wendestelle, also den x-Wert des Wendepunktes (x,y). Diesen setzt du dann in die erste Ableitung von F ein, um die maximale Änderungsrate zu bekommen.

Hier nochmal die Definition:

Ein Wendepunkt (a, F(a)) ∈ |R^2 von F, ist der Punkt, wo folgende Bedingung erfüllt wird: Die erste Ableitung (lokale Änderungsrate) ist an der Wendestelle a lokal extremal (d.h. lokal minimal oder lokal maximal). Die extremale Änderungsrate ist dann der Wert F’(a).

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sondern der y-Wert des Hochpunktes.

Hast du nicht. Hier ist nicht klar, dass damit der Hochpunkt der Ableitung gemeint ist!

Kurz gesagt, einfach den Wendepunkt der Funktion F bestimmen?

Die Wendestelle reicht. Die Steigung bekommst du ja über die erste Ableitung. Vergiss die Randwerte nicht, sofern vorhanden.

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@Apfelmännchen

Der erste Satz in diesem Kommentar sollte eine allgemeine Unterscheidung eines Punktes von einer ihrer Komponenten sein. Wenn man dann weiterliest, sieht man das Gewünschte.

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Was es "sein soll", kann keiner wissen. Faktisch steht es da nicht richtig.

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Jemand, der das nötige Wissen hat, kann sich das Richtige denken. Jemand der das Wissen nicht hat (und deswegen stellen die Leute hier ihre Fragen), lernt möglicherweise etwas Falsches oder ist nur noch mehr verwirrt.

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Dann liest man paar Wörter weiter und weiss dann genau, was ich meine…

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Du schiebst die Verantwortung für Deine falsche Formulierung auf den Leser ab, der dann einfach nicht richtig gelesen hat. Armselig.

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Armselig ist, das hier aus soetwas ein Drama gemacht wird. Direkt danach steht doch die vollständige Erläuterung dieses Satzes, was ist also das Problem?

Und nochmal: Es sollte eine allgemeine Aussage sein und sich keinerlei auf die Hauptthematik beziehen.

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Wenn kein Wendepunkt existiert, kann die Steigung unendlich groß oder klein werden.Ich verstehe den Satz irgendwie nicht, was versteht man unter unendlich groß bzw. was kann man sich da vorstellen?z. B. Die Funktion x^4+x^2 hat keinen Wendepunkt, wenn in der Aufgabenstellung jetzt nach der stärkste Zunahme gefragt ist was schreibt man da hin? Das die stärkste Zunahme unendlich groß ist?

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Ich wiederhole mal meinen Kommentar von oben:

Jemand, der das nötige Wissen hat, kann sich das Richtige denken. Jemand der das Wissen nicht hat (und deswegen stellen die Leute hier ihre Fragen), lernt möglicherweise etwas Falsches oder ist nur noch mehr verwirrt.

Erklärung hin oder her, so eine Schlamperei führt regelmäßig dazu, dass Dinge nicht richtig verstanden werden. Du darfst hier einfach nicht jedem das Wissen unterstellen, das du hast. Wenn du hier ernsthaft Leuten helfen möchtest, solltest du dir das endlich mal zu Herzen nehmen.

Und wenn es nur eine "allgemeine" Aussage sein sollte, ist das ja noch umso verwirrender.

@Maxi: Na, die Steigung wird ja immer größer. Es gibt also keine maximale Steigung.

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@Maxi3322 Die Funktion f(x) := x^4 + x^2 hat die Ableitungen f’(x) = 4x^3 + 2x (1.Ableitung von f) und f’’(x) = 12x^2 + 2 (2.Ableitung von f, erste Ableitung von f’).

Dann gibt es kein x ∈ |R, sodass die Gleichheit f’’(x) = 12x^2 + 2 = 0 erfüllt ist. Damit hat also die erste Ableitung f’ von f keine Extremstellen in |R und damit gibt es von f also auch keine maximale / minimale Änderungsrate.