Integral Gleichungssystem lösen

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grads hat ein Maximum im Punkt H(2/5). An der Stelle x = 4 befindet sich ein Wendepunkt. Die Steigung der Wendetangete beträgt k = -(3/2). x,y... Koordinaten in cm.

1)Bestimme die Funktionsgleichung und die Gleichung der Wendetangente.

2) Stelle die Funktion im Intervall [1;7] grafisch dar.

3) Ermittle jene Fläche, die der Graph der Funktion im Intervall [1;7] mit der waagrechten Achse einschließt.

4) Rotiert der Funktionsgraph im Intervall [1;7] um die x-Achse, so hat der entstehende Rotationskörper die Form einer Spielfigur. Berechne die Masse dieser Spielfigur, wenn sie aus einem Kunststoff mit der Dichte p= 1,05 g/cm^3 hergestellt ist.

Ich habe das Gleichungssystem bis jetzt:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
1: f(2) = 5
2: f'(2) = 0
3: f''(4) = 0
4: f'(4)=- 3/2

stimmt das Gleichungssystem?

Ich weiß leider auch nicht wie man sonst weitermacht mit den anderen Fragestellungen

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)

Comments

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! :)

Du solltest noch schreiben, was davon Du schon konnst, und was für Hilfe Du überhaupt suchst.

Die Antwort zu 1) bis 3) findest Du hier.

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stimmt das Gleichungssystem?

Ja.

Stelle es nun auf!

4) Rotiert der Funktionsgraph im Intervall [1;7] um die x-Achse, so hat der entstehende Rotationskörper die Form einer Spielfigur

https://de.serlo.org/mathe/2155/rotationskoerper-berechnen-mittels-integration

https://studyflix.de/mathematik/rotationskoerper-1879

Masse m:

ρ = m/V

m= ρ*V

Answer 1

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat ein Maximum im Punkt H\((2|5)\). An der Stelle \(x = 4\) befindet sich ein Wendepunkt. Die Steigung der Wendetangente beträgt \(k = -\frac{3}{2}\).

Ein anderer Weg zur Funktionsgleichung

H\((2|\red{5})\)→H´\((2|0)\) Hier ist nun eine doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a[(x-2)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-4)(x-N)+(x-2)^2]\)

\(f''(x)=a[(2x-2N)+(2x-4)+(2x-4)]=a[2(x-N)+2(x-2)+2(x-2)]=2a[(x-N)+(x-2)+(x-2)]=2a[(x-N)+(2x-4)]=2a[3x-N-4]\)

An der Stelle \(x = 4\) befindet sich ein Wendepunkt:

\(f''(4)=2a[3\cdot 4-N-4]=2a[8-N]=0\)

\(N=8\):

\(f'(x)=a[(2x-4)(x-8)+(x-2)^2]\)

Die Steigung der Wendetangente beträgt \(k = -\frac{3}{2}\):

\(f'(4)=a[(2\cdot 4-4)(4-8)+(4-2)^2]=-12a= -\frac{3}{2}\)

\(a=\frac{1}{8}\):

\(f(x)=\frac{1}{8}(x-2)^2(x-8)\)

\(p(x)=\frac{1}{8}(x-2)^2(x-8)+\red{5}\)

Answer 2

Nach Deiner Ergänzung mit Gleichungssystem und der konkreten Frage

stimmt das Gleichungssystem?

Ja.

Answer 3

stimmt das Gleichungssystem?

Dein Gleichungssystem ist korrekt. Bekommst du es auch gelöst? Du solltest jetzt natürlich die Werte in die Funktionen einsetzen.

2) Hier hilft eine Wertetabelle.

3) Bestimme das Integral über die Funktion. Anhand deiner Zeichnung solltest du erkennen, welche Fläche gemeint ist und ob du das Integral ggf. aufteilen musst.

4) Bestimme das Volumen mit Hilfe der Formel. Die solltest du in deinen Unterlagen finden. Die Masse ergibt sich als das Produkt aus Volumen mal Dichte.