Funktionsvorschrift zu Polynomen angeben

Question

Guten Tag,

ich möchte die Funktionsvorschrift für das folgende Polynom angeben.

Der führende Koeffizient des Polynoms ist dabei 1 oder -1, und das Polynom lässt sich vollständig in Linearfaktoren zerlegen, und die Nullstellen sind maximal 3-fach.

Die Nullstellen sind -2,-1,0 und 1, wobei -1 eine doppelte Nullstelle zu sein scheint.

Deshalb kam ich auf das Ergebnis p(x)= -(x+2)*(x+1)²*x*(x-1)

Das scheint aber falsch zu sein und wenn ich meine Theorie in Geogebra eingebe, kommt das heraus.

Kann mir jemand einen Ansatz geben was ich falsch mache?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die Nullstelle $x=-1$ kann nicht zweifach sein...

Comments

In geogebra siehst du auch deinen Fehler, 2 fache Nst; heisst dort ist max oder min. 3 fach Sattelpunkt. Ausserdem gerade höchster Exponent (warum?)

lul

Answer 2

f(x) = (x + 2)·(x + 1)³·x·(x - 1)

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach Aufgabenstellung hat die Funktionsgleichung die Form:$$f(x)=\pink\pm(x+2)^{\pink a}\cdot(x+1)^{\pink b}\cdot x^{\pink c}\cdot (x-1)^{\pink d}$$Die Exponenten $\pink{a,b,c,d}$ sind $1$, $2$ oder $3$, da ja die Nullstellen maximal 3-fach sein können.

Du erkennst, dass der Graph der Funktion bei allen Nullstellen die x-Achse überquert. Es liegt also bei keiner Nullstelle ein Maximum oder ein Minimum vor. Daher kann keiner der Exponenten gleich $2$ sein.

An der Stelle $x=-1$ liegt ein Sattelpunkt vor, d.h. die Steigung wird an dieser Stelle gleich $0$, hat aber davor und dahinter dasselbe Vorzeichen. Vor $x=-1$ steigt die Funktion an, und hinter $x=-1$ steigt sie ebenfalls an. Bei einem Sattelpunkt muss der Exponent mindestens $3$ sein.

Bei allen anderen Nullstellen wird die Steigung nicht null, sodass dort auch kein Sattelpunkt vorliegt. Daher bleibt für alle anderen Exponenten nur der Wert $1$ übrig:

$$f(x)=\pink\pm(x+2)\cdot(x+1)^3\cdot x\cdot(x-1)$$

Das Vorzeichen kriegst du raus, indem du einen passenden x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Zum Beispiel muss für $x=\frac12$ das Ergebnis negativ sein. Daher muss das Vorzeichen positiv sein:$$f(x)=\pm(x+2)\cdot(x+1)^3\cdot x\cdot(x-1)$$