Wie beginne ich mit der rechnung?

Question

Aufgabe: Gesucht sind die Inhalte der im Folgenden beschriebenen oder markierten Flächenstücke.

f(x) = x^3 - x
von Kurve und x-Achse im
4. Quadranten eingeschlossene Fläche

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich mit der Berechnung starten soll. Mir wurde erklärt, dass ich als erstes die Nullstellen berechnen soll, dann die integrale und erst dann den Flächeninhalt.

Comments

Besser als einen Ablauf auswendig lernen, den Du nicht verstehst, ist es den Hintergrund zu verstehen (dann brauchst Du nicht auswendig lernen und bist auch in verwandten Aufgaben sicher was zu tun). Fang mit einer Skizze an, mach Dir klar, um welche Flächen es geht und was ein Flächeninhalt mit dem Integral zu tun hat.

Answer 1

Mir wurde erklärt, dass ich als erstes die Nullstellen berechnen soll ...

Das bedeutet, beginne mit der Berechnung der Nullstellen.

Answer 2

Nullstellen bestimmen:

x^3-x = 0

x(x^2-1) =0

x= 0 v x= +-1

Integriere von 0 bis 1 und nimm den Betrag des Ergebnisses, weil negativ.

Comments

Dann würde ich doch erklären, warum nicht von -1 bis 0 integriert wird.

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von Kurve und x-Achse im
4. Quadranten eingeschlossene Fläche

Das ergibt sich aus dieser Angabe. Warum sollte es erklärt werden?

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Nach meiner Erwartung würde ein FS, der hier nicht die Nullstellen bestimmen kann, auch diesen Zusammrnhang nicht lösungstechnisch umsetzen können.

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Nach meiner Erwartung würde ein FS, der hier nicht die Nullstellen bestimmen kann, auch diesen Zusammrnhang nicht lösungstechnisch umsetzen können.

Na ja, was mit 4.Quadranten gemeint ist, traue ich ihm schon zu wissen zu. Aber sicher ist das natürlich auch nicht. Ich würde in diesem Fall eine konkrete Frage erwarten.

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@Mathhilf: Es hapert hier doch grundsätzlich an Erklärungen. Das sollte doch mittlerweile bekannt sein. Den FS wird alles Mögliche an Wissen und Denkfähigkeit unterstellt. Wieso sollte man seine eingestellten Lösungen oder Ansätze noch erklären? Ist doch alles trivial und offensichtlich.

Leider gibt es auch viele Lehrer, die so "unterrichten". Und dann wundert man sich, dass es nicht verstanden wird. Es fehlt leider immer wieder die notwendige Empathie, sich entsprechend in die Lage der Lernenden zu versetzen. Auch hier ist das immer wieder zu beobachten.

Answer 3

Zur graphischen Vorstellung:

Vom Ursprung aus betrachtet ist ja der erste Quadrant "rechts oben", der zweite "links oben", der dritte "links unten" und der vierte "rechts unten".

Dementsprechend sind genau die Punkte \((x,y=f(x))\) des Funktionsgraphen von \(f\) im vierten Quadranten, wenn \(x\geq 0\) und \(f(x)\leq 0\).

Du sollst also den negativen Teil der rechten Hälfte des Funktionsgraphen erstmal bestimmen. Sobald du den gefunden hast, kannst du mittels eines schlau gewählten Integrals dessen Fläche bestimmen. Soviel zur groben Reihenfolge.

Was grenzt den negativen Teil der rechten Hälfte des Funktionsgraphen denn ein? Das können ja nur die Nullstellen von \(f\) sowie die Stelle \(x=0\) sein.

(Es kann auch passieren, dass \(f\) ab einem bestimmten Punkt "nur noch negativ" ist. Dann wäre eine der Grenzen "die Stelle \(\infty\)" und du hättest ein uneigentliches Integral zu berechnen. Das ist aber hier nicht der Fall und wahrscheinlich bist du noch an einem Punkt im Unterricht, wo du dir darüber keine Gedanken machen musst.)

Answer 4

Aloha :)

Gesucht ist die Fläche \(F\), die die Funktion \(f(x)\) im 4-ten Quadranten mit der x-Achse einschließt.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Zu deren Ermittlung zerlegen wir den Funktionsterm mit Hilfe der dritten binomischen Formel in seine Linearfaktoren:$$f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$Die Nullstellen liegen daher bei \(x_1=0\;;\;x_2=1\;;\;x_3=-1\).

Im 4-ten Quadranten ist \(x\ge0\), daher erhalten wir die gesuchte Fläche durch Integration von \(f(x)\) von der Nullstelle \(x_1=0\) bis zur Nullstelle \(x_2=1\):$$F=-\int\limits_0^1\left(x^3-x\right)dx$$Das Minuszeichen vor dem Integral kommt daher, dass die Funktion im Intervall \([0;1]\) unterhalb der x-Achse verläuft, sodass das Integral negativ ist. Durch das Minuszeichen erhalten wir für die Fläche ein positives Ergebnis:$$F=-\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac14$$

~plot~ x^3-x ; [[-0,2|1,2|-0,5|0,5]] ~plot~

Answer 5

Ich rate Dir einmal, zunächst eine kleine Kurvendiskussion mit Bestimmung der Nullstellen und der Hoch- und Tiefpunkte zu erstellen. Das ist nicht nur eine kleine, schöne Wiederholungsübung, sondern Du erkennst dann auch, wie der Graph der Funktion verläuft. Die weitere Aufgabenstellung wird Dir dann wahrscheinlich einleuchtend sein. Wenn nicht, melde Dich wieder.

Viel Erfolg!

Nachtrag: Habe zu spät erkannt, dass der Lösungsweg hier schon vollständig eingegeben wurde...

Comments

Wie kann man das bei der 5. Antwort übersehen?

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Genau so, wie alle anderen andere Antworten regelmäßig übersehen: man beachtet sie einfach nicht und schaut nur auf die Frage. Und in ganz extremen Fällen schaut man dann nur auf den Titel und nicht auf die konkret gestellte Frage. Erlebt man hier doch ständig.