Als Alternative zum von ggt22 vorgeschlagenen Induktionsbeweis. Vielleicht habt ihr schon die eine oder andere Summenformel gesehen. Zum Beispiel die "Differenz von Potenzen"-Formel, das sollte eine der ersten Summenformeln sein, die man als Schüler/Student so kennenlernt, da sie die dritte binomische Formel verallgemeinert. Dann kannst du schön Argumentieren:
\(x^n<y^n\iff 0<y^n-x^n = (y-x)\left(\sum\limits_{i=0}^{n-1}y^ix^{n-i-1}\right) = (y-x)(y^{n-1}+y^{n-2}x+y^{n-3}x^2+\ldots+yx^{n-2}+x^{n-1})\). Da \(y>x\geq 0\), ist diese Summe klar das Produkt von zwei streng positiven Zahlen, damit positiv.
Diese Formel funktioniert für \(n\geq 2\) ohne Probleme. Für \(n=1\) müsstest du etwas cheeky sein und \(0^0=1\) innerhalb der Summe schreiben, ist aber etwas suspekt. Der Fall \(n=1\) ist ja ohnehin nicht sehr gehaltvoll.
Eine kleine Anmerkung dazu: Du verwendest hier, dass wenn \(a,b>0\), dann auch \(ab>0\). Das sollte vielleicht noch gesagt werden, da dieser Fakt schon gar nicht mehr so weit von der zu zeigenden Aussage entfernt ist.
