Question

Wie wird F₂ (F mit doppeltem Strich) genannt? Ich weiß, dass es für einen Körper mit nur zwei Elementen steht. Müssen die zwei Elemente immer 0 und 1 sein? Z.B. 1+1=0

Comments

Jedes Ergebnis einer Rechenoperation (Addition und Multiplikation) muss wieder im Körper liegen. Du rechnest hier alles mod 2.

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@nudger Doch. Lies bitte seine Frage.

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@Txman Hab ich. Und nun lies Du.

Answer 1

Das ist der Körper mit 2 Elementen, davon gibt es nur einen. Da er per Def. die Elemente 0 und 1 haben muss, und diese verschieden sein müssen, gibt es keine anderen in \(\mathbb{F}_2\).

Answer 2

Wie wird F₂ (F mit doppeltem Strich) genannt?

Der Körper heißt "Restklassenkörper modulo 2".

Müssen die zwei Elemente immer 0 und 1 sein?

Nein. Wie du deine Elemente bezeichnest ist dir überlassen. Es ist aber üblich, das neutrale Element der Addition mit 0 und das der Multiplikation mit 1 zu bezeichnen. Solltest du das zum Beispiel umgekehrt machen, dann solltest du das angeben und dich darauf einstellen, dafür ausgeschimpft zu werden.

Answer 3

Ich würde das "Körper mit zwei Elementen" oder einfach nur "Eff Zwei" nennen, wenn der Kontext klar ist.

Die neutralen Elemente nennt man ganz klassisch "0" und "1", und andere Elemente gibt es hier ja nicht zu benennen. Andere Benennungen für deine zwei Elemente gibt es manchmal in ganz konkreten Fällen wo es wichtig erscheint, aber konzeptuell ist das "die eine" Nennart.

Spezielle Benennungen wären dann zum Beispiel "\([0],[1]\)" oder "\(2\mathbb{Z},2\mathbb{Z}+1\)", wenn man hervorheben möchte, dass man einen ganzzahligen Restklassenring vor sich hat.

Answer 4

Für eine ganze Zahl a ∈ Z schreiben wir erstmal [a]_n = {x ∈ Z : x ≡ a (mod n)} als die Kongruenzklasse modulo n.

Für alle x ∈ Z gilt dann:

x ≡ a (mod n) <=> [a]_n = [x]_n.

Dann ist Z/n = {[a]_n : a = 0, … , n-1} die Menge all dieser Kongruenzklassen für n ∈ |N.

Für n = 2 haben wir Z/2 = {[0]_2, [1]_2}. Hier gilt  [1+1]_2 = [2]_2 = [0]_2, da 2 ≡ 0 (mod 2) ist. Da 2 prim ist, ist Z/2 auch ein Körper, denn allgemein ist Z/n nur für jede Primzahl n ein Körper.

Damit schreiben wir Z/2 = F_2 als den Körper der Kongruenzklassen [0]_2 und [1]_2 mit den Rechenregel

[x+y]_2 = {[1]_2 falls (x,y) ≠ (1,1), [0]_2 für (x,y) = (1,1).

Hierbei ist [1]_2 das neutrale Element der Multiplikation und [0]_2 das neutrale Element der Addition.

Comments

Wieder an der Frage vorbei. "Damit schreiben wir...." suggeriert Logik, wo keine ist.

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Die Logik ist auch eine andere. Mein schreibt \(\mathbb{F}_2 \), weil man sich hier der englischen Bezeichnung Field für Körper bedient.

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Ich habe ihm erklärt was es mit dem Körper auf sich hat und wieso diese Rechenregel gelten. Das habt ihr alle nicht gemacht. Es gilt hier nicht einfach mal so 1+1 = 0. Und das habe ich hier genauer erklärt.

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Aha und wieso schreibt man nicht Z/6 = F_6? Das F hat schon sein gewissen Grund und man schreibt es nur wenn dir Rede von Z/n mit n prim ist, denn nur das ist ein Körper.

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Das habt ihr alle nicht gemacht.

Weil nicht danach gefragt wurde. ;)

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Habe es kopiert:

,,Müssen die zwei Elemente immer 0 und 1 sein? Z.B. 1+1=0‘‘

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Du erklärst Dinge, die nicht gefragt wurden. Und das mit 0 und 1 ist schon mehrmals hier erklärt worden.