Aloha :)
Ich versuche mal, das am Beispiel des 3-dimensionalen \(V=\mathbb R^3\) zu verdeutlichen.
Du betrachtest einen Vektor \(\vec v\in V\) aus dem Vektorraum \(V\). Um die Lage von \(\vec v\) zu beschreiben, baust du dir ein Koordinatensystem, bestehend aus einem Ursprung und den Basisvektoren \(\vec b_1\), \(\vec b_2\), \(\vec b_3\) aus der Basis \(B\). Du kannst den Vektor \(\vec v\) nun als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:$$\vec v=\lambda_1\cdot\vec b_1+\lambda_2\cdot\vec b_2+\lambda_3\cdot\vec b_3=\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\end{pmatrix}_{\!B}$$und in Komponentendarstellung bezüglich der Basis \(B\) angeben.
Dein Kumpel Karl schaut sich denselben Vektor \(\vec v\in V\) an. Er baut sich allerdings sein eigenes Koordinatensystem, bestehend aus demselben Ursprung wie du ihn hast, aber mit den Basisvektoren \(\vec b'_1\), \(\vec b'_2\), \(\vec b'_3\) aus der Basis \(B'\). In Karls Koordinatensystem hat der Vektor \(\vec v\) die Darstellung:$$\vec v=\mu_1\cdot\vec b'_1+\mu_2\cdot\vec b'_2+\mu_3\cdot\vec b'_3=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\end{pmatrix}_{\!B'}$$
In deinem Koordinatensystem \(B\) und in Karls Koordinatensystem \(B'\) hat der Vektor \(\vec v\) andere Koordinaten, es ist in beiden Fällen aber exakt derselbe Vektor \(\vec v\).
Der Vektor \(\vec v\) bleibt beim Wechsel der Basis von \(B\) nach \(B'\) ungeändert, er ist in beiden Koordinatensystemen identisch. Er wird nicht verlängert oder verdreht. Daher bezeichnet man die Transformation, die alle Vektoren ungeändert lässt, und nur die Koordinaten des Vektors an eine andere Basis anpasst, als Identität-Abbildung.
