Wie geht man da vor? Zunahme berechnen

Question

Ermitteln sie für den Graphen der Funktion f mit D_f = ℝ in welchem Bereich die lokale Änderungsrate von f(x) negativ bzw. positiv ist. Ermitteln sie ob es Stellen mit lokal stärksten Abnahme bzw. Zunahme der Funktionswerte gibt.

f(x) = 1/3x³-3,5x² + 10x

Wie geht man da vor?

Answer 1

Aloha :)

Uns ist folgende Funktion vorgegeben$$f(x)=\frac13x^3-3,5x^2+10x$$In der Frage geht es um deren lokale Änderungsrate, also um die Ableitung:$$f'(x)=x^2-7x+10$$

zu a) Um zu prüfen, wo \(f'(x)\) positiv oder negativ ist, zerlegen wir \(f'(x)\) in Linearfaktoren:$$f'(x)=(x-5)\cdot(x-2)$$

Für \(x<2\) sind beide Faktoren negativ, also ist das Produkt \(f'(x)\) positiv.

Für \(x>5\) sind beide Faktoren positiv, also ist das Produkt \(f'(x)\) positiv.

Für \(2<x<5\) ist der 1-te Faktor negativ und der 2-te positiv, also ist \(f'(x)\) negativ.

Zusammengefasst heißt das:$$f'(x)\left\{\begin{array}{ll}>0 & \text{für }x<2\\=0 & \text{für }x=2\\<0 & \text{für } x\in(2;5)\\=0 & \text{für }x=5\\>0 & \text{für }x>5\end{array}\right.$$

zu b) Die stärkste Abnahme der Funktionswerte findest du an den Stellen, wo die Änderungsrate \(f'(x)\) minimal wird. Die stärkste Zunahme der Funktionswerte ist dort, wo die Änderungsrate \(f'(x)\) maximal wird.

Zur Bestimmung der gesuchten Stellen schreiben wir die Ableitung wieder etwas um:$$f'(x)=x^2-7x\pink{+10}=\left(x^2-7x\pink{+\frac{49}{4}}\right)\pink{-\frac94}=\left(x-\frac72\right)^2-\frac94$$Die Ableitung \(f'(x)\) hat kein Maximum, aber ein Minimum im Punkt \(P\left(\frac72\big|-\frac94\right)\).

An der Stelle \(x=\frac72\) ist die Abnahme der Funktionswerte am särksten.

~plot~ x^3/3-3,5*x^2+10x ; x^2-7x+10 ; [[-2|9|-4|11]] ; x=2 ; x=5 ; {3,5|-9/4} ; {3,5|6,416} ~plot~

Answer 2

f '(x) < 0 bzw. f '(x) >0

Stärkste Abnahme (Wendepunkt):

f ''(x) =0

Ableiten sollte das Problem hier nicht sein.

zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung. Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt, ob die Steigung positiv oder negativ ist. Ein Wechsel ist nur bei den Nullstellen möglich, daher werden diese bestimmt.

Eine stärkste Zu- oder Abnahme kann über die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt werden.

Comments

Wie sieht das mit 1/3x^3 +x^2 -3x aus

LFZ von fˋ(x) ist (x - 1) * (x + 3)

Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt, ob die Steigung positiv oder negativ ist

F‘(x) = 1x^2 + 2x + 3

Ich verstehe den Satz nicht so richtig, das Vorzeichen der Ableitung ist positiv aber was ist mit der Steigung

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Mit Vorzeichen meine ich, wenn du einen bestimmten Wert für x einsetzt. Man hat dir die andere Aufgabe doch vorgerechnet. Was verstehst du nicht?

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Vorrechnen bringt mir ehrlich gesagt nix, muss es ja verstehen.

Mit Vorzeichen meine ich, wenn du einen bestimmten Wert für x einsetzt

Kann ich das auch mit einer Vorzeichentabelle lösen also so: wäre das richtig

Text erkannt:

Of hak eire Coccale Zunahme for \( x \in J 7 ;-330 \) C1j \( \forall C \)
Gt hat ein colale Abrame in \( [-3 ; 1] \)

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Irgendetwas stimmt da nicht, denn 1 ist keine Nullstelle der Ableitung. Aber klar, eine Vorzeichentabelle ist hier eine gute Möglichkeit. Steht in der Ableitung evtl. -3 am Ende?

Bei dieser Ableitung geht es sogar noch einfacher: es ist eine nach oben geöffnete Parabel.

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Woher weiß man eigentlich ob es sich um eine Abnahme oder Zunahme handelt wenn man f´´ (x) = 0 setzt?

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Wenn 0 herauskommt, hat man weder eine Abnahme noch eine Zunahme, weil die Steigung 0 ist. Man berechnet aber diese Stellen, weil es die einzigen Stellen sind, wo das Vorzeichen der Ableitung wechseln kann. Man prüft dann, was vor bzw. hinter dieser Nullstelle für ein Vorzeichen vorliegt.