Aufgabe:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit die Zahl 5 zu drehen 30%, die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu drehen 10%. Die Zahlen 2-4 werden mit derselben Wahrscheinlichkeit gedreht.
a) Das Glücksrad wird fünfmal gedreht.
Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, genau einmal eine 5 zu erhalten und die Wahrscheinlichkeit dafür, nur beim fünften Mal eine 5 zu erhalten.
b)Die Zufallsgröße X gibt die Augensumme beim zweimaligen drehen des Rades an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Standardabweichung und den Erwartungswert von x. Vergleiche diese Größen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung, der Standardabweichung und dem Erwartungswert beim einmaligen Drehen des Glücksrades.
c) Man erhält einen Hauptgewinn, wenn die Augensumme mindestens 9 beträgt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt der Hauptgewinn von einer doppelfünf, also der Augensumme 10?
d) Man vermutet, dass das Glücksrad seltener auf der 5 landet als angegeben. Diese Vermutung soll durch 100 maliges Drehen überprüft werden. Beschrieben sie einen Hypothesentest zum Signifikanzniveau 5% und beschreiben und berechnen sie den Fehler erster und zweiter Art.
e) Frank und Ciara spielen ein Spiel. Sie drehen abwechselnd das Glücksrad, Frank beginnt. es gewinnt, wer zuerst eine fünf dreht. Stellen sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Frank und Ciara als unendliche Reihe dar, und berechnen sie die Gewinnchance von Frank.
Problem/Ansatz:
Ich würde gerne wissen, ob ich die Aufgaben korrekt gelöst und das Thema verstanden habe :).
a) P('genau eine 5') = P(X=5) =B(5;0,3,1) = 0.36 =36%
P(' 5 beim fünften Mal') = 0.7^4*0.3 = 0,07203.
b) 1Mal drehen:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P(x=xi) | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
Sigma = 1,36; Erwartungswert: 3,4
2Mal drehen:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P(x=xi) | 0 | 0,01 | 0,04 | 0,08 | 0,12 | 0,18 | 0,2 | 0,16 | 0,12 | 0,09 |
Sigma: 1,96, Erwartungswert: 6,8
c) P(X=10) =0,09 = 9%, siehe Tabelle afg.b
d) Es ist ein statistischer Alternativtest durchzuführen. Es wird 100 mal gedreht und das Ergebnis notiert. Anschließend kann mit einer Tabelle zur Binomialverteilung die kritische Zahl k ermittelt werden.
n=100
H0: Das Glücksrad landet mit 30% auf der 5. → P=0,3
H1: Das Glücksrad landet seltener auf der 5 als angegeben. → p<0,3
P(H0) Unter der Beding H1 <=0,05 → K=22 aus Tabelle der Binomialverteilung abgelesen
K<22: H= wird abgelehnt
K>22: H0 wird angenommen
alpha Fehler / Fehler erster Art:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
P(H0) unter der Bedingung H1 = P(X<=22) = F(100; 0,3,22) = 4,78%
Beta Fehler ( fehler 2.Art)
H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist.
falls p=0,2: 1-P(X<=22) = 1-F(100, 02,22) = 1-0,73= 26,1%
fall p=0,1: !-P/X<=22) =1-F(100, 0,2, 22) =1-0,99 = 0,011%
e) hier bin ich mir am wenigsten sicher:
Frank gewinnt: ∑ 0,3 * 1/ (1-0,7)^2 = 0,3/0,51= =,5882 =58,82%
Clara gewinnt:∑ 0,21*1/(1-0,7)^2
